有基数谓词的有界线宽图上的MSOL优化问题

CMSOL是计数单数二阶逻辑，即图的逻辑，其中域是顶点和边的集合，存在顶点-顶点邻接和边-顶点发生的谓词，对边，顶点，边集和顶点进行量化谓词表示的大小是否为模。 $\textrm{Card}_{n,p}(S)$ $S$ $n$ $p$

Courcelle著名的定理指出，如果是图形的属性表达在CMSOL，那么对于每个图形最多树宽的它可以在无论是线性的时间来决定认为，只要树分解在输入中给出。该定理的后续版本放弃了对输入进行树分解的要求（因为可以使用Bodlaender的算法进行计算），并且还允许优化而不是仅仅进行决策；即给定一个MSOL公式我们还可以计算满足的最大或最小集 $\Pi$ $G$ $k$ $\Pi$ $G$ $\phi(S)$ $S$ 。 $\phi(S)$

我的问题涉及库尔切勒定理对有界线宽图的适应性。有一个类似的定理说，如果您有一个MSOL1允许对顶点，边，顶点集而不是边集进行量化，则给定图的集团宽度（具有给定的集团表达式），对于每个固定的都可以确定在线性时间内图是否满足一些MSOL1公式 ; 我看到的所有参考都指向 $G$ $k$ $k$ $G$ $\phi$

Courcelle，Makowsky和Rotics 的有界线宽图上的线性时间可解优化问题，计算系统理论，2000年。

我已尝试阅读该论文，但就MSOL1的确切定义而言，它并不完备，坦率地说，它很难阅读。我有两个问题，即如果在输入中给出了集团表达式，那么在FPT中究竟有什么可能最优化，由图形的集团宽度参数化。

MSOL1是否允许谓词测试以模数为模的集合的大小？ $\textrm{Card}_{n,p}(S)$
当给出表达式时，是否有可能在满足cliquewidth 参数的FPT中找到满足MSOL1公式的最小/最大大小集？ $S$ $\phi(S)$

对于这两个问题，我也想知道要求这些结果时要引用哪些正确的参考文献。提前致谢！

— 巴特·詹森
source

我试图修改您的某些文章，对此感到抱歉。因为我对您的问题非常感兴趣，但是在修改之后，我不确定我是否正确理解了您的想法。因此，您的意思是您需要MSOL1的确切定义，谓词的存在和优化问题的FPT吗？

— 张显之张张之之2011年

M S O L_{1}

$MSOL_1$

ϕ (S)

$\phi(S)$

S

$S$

ϕ

$\phi$

_{n, p} (S)

$_{n,p}(S)$

S

$S$

ϕ (S)

$\phi(S)$

f (k) | V (G) |^{O (1)}

$f(k) |V(G)|^{O(1)}$

f

$f$

S

$S$

ϕ

$\phi$

布鲁诺·库尔塞勒（Bruno Courcelle）的草稿卷可能很有用：请参阅“图形结构和单子二阶逻辑，一种语言理论方法”下的labri.fr/perso/courcell/ActSci.html。

— 安德拉斯·萨拉蒙

谢谢; 这至少解决了问题的第1部分），因为本书第一部分的定理6.4说：对于顶点和边标签的所有有限集K和L，计算MSOL1公式的模型检查问题是固定的-相对于参数cliquewidth（G）+公式大小的三次方参数。

— 巴特·詹森，

Answers:

询问了更多之后，似乎1）和2）的答案都是肯定的。在LinEMSOL中可以优化集合的基数（如Martin Lackner所述）；正如我所知，基数谓词的存在没有问题，因为它们可以由有限状态树自动机有效地处理，有限状态树自动机应遵循（比在原始引用的论文中更明确地引用）来自解析树和Myhill-Nerode-类型工具，用于处理有界rank-width的图。

— 巴特·詹森
source

http://www.labri.fr/perso/courcell/Textes1/BC-Makowsky-Rotics（2000）.pdf（您提到的论文，但可读性更好）定义了LinEMSOL（定义10）。LinEMSOL允许MSO1优化问题，定理4指出，就集团宽度而言，此类问题是固定参数可处理的。因此，第二个项目符号/问题的答案应该是。

关于第一个项目符号：Bruno Courcelle和Sang-il Oum撰写的“次要顶点，二元二阶逻辑和Seese的猜想”中，作者写道：“可以证明没有MS公式φ（X）可以表达，在每种结构中，集合X都具有偶数基数[10]“，其中[10] =” Courcelle，图的单子二阶逻辑“

希望能有所帮助

— 马丁·拉克纳
source

感谢您的见解，但事实上，没有任何MS公式（通常）不能表达一个集合是否具有偶数基数这一事实在这里并不重要，因为问题是关于计数MSOL语言，其中添加了特殊谓词以明确允许测试基数。一组模的某个固定数；因此，在Counting MSOL语言中可以表达集合的均匀性，问题是我们是否可以有效地找到满足由cliquewidth参数化的Counting MSOL中句子的最小/最大集合。不管怎么说，还是要谢谢你！

— 巴特·詹森，

你当然是对的。我只是想指出您提到的论文不涉及CMSOL。（我不知道这样做的结果。）

— Martin Lackner