精确的平面电流

考虑一个建模为平面图G的电网，其中每个边缘代表一个1Ω电阻。 我们多快可以计算出G中两个顶点之间的确切有效电阻？ 等效地，如果将1V电池连接到G中的两个顶点，我们将能够多快地计算出沿每个边缘流动的确切电流？

基尔霍夫（Kirchhoff）著名的电压和电流定律将这个问题简化为求解线性方程组，每个边沿具有一个变量。最近的结果（由Klein和Randić（1993）明确描述，但隐含在Doyle和Snell（1984）的早期工作中）将问题简化为求解一个线性系统，该线性系统的每个顶点具有一个变量，表示该节点的势能。该线性系统的矩阵是图的拉普拉斯矩阵。

是线性系统可以精确地在解决使用嵌套解剖和平面分离器[时间立顿玫瑰的Tarjan 1979 ]。 这是最快的算法吗？$O(n^{3/2})$

Spielman，Teng等人的最新开创性结果表明，任意图中的Laplacian系统都可以在近似线性时间内求解。有关当前最佳运行时间，请参见[ Koutis Miller Peng 2010 ]，以及Simons Foundation的Erica Klarreich撰写的这篇精彩文章，以提供高层次的概述。但是我对平面图的精确算法特别感兴趣。

假设计算模型支持恒定时间的精确实数运算。

使用嵌套解剖，您甚至可以求解O （√的线性系统（基于平面图）。例如， 我在与GünterRote和AresRibó的论文中以及在Alon和Yuster的论文中都提到了这一点。$O(\sqrt{n^\omega})$

前一篇论文还包含一种方法，该方法如何计算O （√的一个公共面上的顶点之间的成对电阻。Kenyon的这篇论文可能还包含有用的想法。$O(\sqrt{n^\omega})$