减少k色的自然CLIQUE

从CLIQUE到k-Color显然有所减少，因为它们都是NP-Complete。实际上，我可以通过将CLIQUE简化为3-SAT，将3-SAT简化为k-Color来构造一个。我想知道的是，这些问题之间是否有合理的直接减少。说，我可以相当简短地向朋友解释这种简化，而无需描述SAT之类的中间语言。

作为我要寻找的示例，这是一个反向的直接减少：给定G具有 $n$ 和一些 $k$ （颜色的数量），制作具有 $kn$ 顶点（每个顶点每种颜色一个）的图形G' 。当且仅当和（或）时分别与顶点和颜色对应的顶点 $v'$ ，相邻。一个在-clique在每个顶点只有一个顶点，以及相应的颜色是一个适当的 $u'$ $v, u$ $c, d$ $v \neq u$ $c \neq d$ $vu \not \in G$ $n$ $G'$ $G$ $k$ 颜色。类似地，任何适当的着色在都有一个对应的集团。 $G$ $k$ $G$ $G'$

编辑：为了增加一些简短的动机，Karp 最初的21个问题被还原树证明NP-完全，其中CLIQUE和色度数形成主要子树的根。CLIQUE子树和Chromatic Number子树之间的问题之间有一些自然的减少，但是其中许多问题与我要问的一样难以发现。我正在尝试深入研究此树的结构是否在其他问题中显示了某些基础结构，或者这是否完全是首先找到减少量的结果，因为当两个问题之间出现减少量时，搜索它们的动机较少已知属于同一复杂度类别。当然，顺序有一定影响，树的一部分可以重新排列，但是可以任意重新排列吗？

编辑2：我继续寻找直接归约法，但这是我得到的最接近法的草图（应该是有效的归约法，但是CIRCUIT SAT作为明确的中介；这是否比包括第一段中提到的两次减少）。

给定，我们知道可以是色，带有个顶点，所有有色True iff 有一个 clique。我们命名的原始顶点，然后在添加其他顶点：其中，。关键不变式是，当且仅当在顶点中至少有个顶点为True时，才能为True。因此，每个可以为True。然后， $G, k$ $\overline{G}$ $n-k+1$ $k$ $G$ $k$ $G$ $v_1, \ldots, v_n$ $\overline G$ $C_{ij}$ $1 \le i \le n$ $0 \le j \le k$ $C_{ij}$ $\{v_1,\ldots, v_i\}$ $j$ $C_{i0}$ $C_{ij}$ 为 $j > 0$ 获取颜色 $C_{(i-1)j} \vee C_{(i-1)(j-1)} \wedge v_i$ ，其中所有的非真实的色彩被视为假。如果可以着色为真，则存在一个 $k$ 形，因此，如果我们强制进行着色，则当原始图中存在一个形时，新图是可着色的。 $G$ $C_{nk}$ $k$

强制关系的AND和OR小工具非常类似于从CIRCUIT SAT减少为3-COLOR，但是这里我们在图形中包括一个 $K_{n-k+1}$ ，选择顶点T，F和Ground，然后将除 $v_i$ 的所有其他内容都连接起来；这样可以确保 $C_{ij}$ 和其他小工具仅接收3种颜色。

无论如何，这种降低的部分感觉很直接，但是AND / OR门的使用却不太直接。问题仍然存在，是否有更优雅的减少？ $\overline G$

编辑3：关于为什么很难找到这种减少方法，已有一些评论。CLIQUE和k-Color确实是完全不同的问题。但是，即使没有减少，详细说明为什么在一个方向上很难减少而在另一个方向上可能减少的答案也将非常有帮助，并为问题做出了很大贡献。

— 威廉·麦克雷
source

您正在寻找的直接还原类型可能很难找到，因为在1色度与n色度一样容易找到的意义上，Clique和着色是相反的。因此，折减的形式可能是：当且仅当具有斜率时，才具有着色

G′ $G'$

n−k $n-k$

G $G$

k $k$

— Martin Vatshelle 2012年

我同意这很困难；这就是我感兴趣的原因；我将详细说明问题的动机。该 -coloring想法已经得到了我最近的一刻。如果有一个斜率，则可能使集团中的所有顶点都是单色的，因为它们是一个独立的集合。问题是其余的色数可能会变化。将两个顶点链接到

会使它们具有相同的颜色，但是我不知道要强制使用哪一组顶点。一个将

个顶点中的某些

强制变为单色的小工具可以做到这一点。

n−k $n-k$

k $k$

G $G$

G¯¯¯¯ $\overline{G}$

Kn−k−1 $K_{n-k-1}$

i $i$

j $j$

— 威廉·麦克雷

我在这里同意Martin的观点，这甚至可能不可行（如果不经过3SAT的话）。派系和着色几乎没有共同之处。因此，我想回顾一下Erdős定理，给定自然数g和k，有一个图，其周长至少为g，色数至少为k（如果您不熟悉它，请考虑一下）。最后，您的约简还必须意识到，虽然在解决方案集

中将Clique（和独立集）设置为

，但对于图的色数没有等效的参数设置。W[1] $W[1]$

— 帕尔GD

我不明白@MartinVatshelle的评论。据我所知，所有1色，1色，n色和n色在同一级别上都是微不足道的。（不要认为您总是可以用YES来回答1-clique：输入图可能为空！）

— Yixin Cao

我认为Martin的观点是显示

和

，但要比

难找到

。因此，这两个概念存在一些双重性。@PålGD关于Erdős定理的观点是一个很棒的定理（我喜欢那个定理），因为具有大周长的图具有很大的独立性，因此它们的逆也将具有较大的集团。总的来说，这里感觉就像是一个陷阱，它是在相同或相似的图中关联Cliques和Colorings，但是与反方向相比，归约法可能会构造出与

不同的图。χ(G)=4 $\chi(G)=4$

χ(G)=3 $\chi(G)=3$

K4 $K_4$

K3 $K_3$

G $G$

— 威廉·麦克雷

Answers:

给定一个图和一个数，例如，您想知道是否包含一个斜率，令n为的顶点数。我们构造另一个图，使得当且仅当具有形时，才是色的，如下所示： $G$ $k$ $G$ $k$ $G$ $H$ $H$ $n$ $G$ $k$

（1）对于每个顶点在，作出顶点-clique 在，其中的范围从到。 $v$ $G$ $n$ $(v,i)$ $H$ $i$ $1$ $n$

（2）向添加一个额外的顶点。 $x$ $H$

（3）对于每个顶点的三元组，其中和，测试以下条件之一是否成立：和，或和是在不相邻顶点与 $\{x,y,z\}$ $H$ $y=(v,i)$ $z=(u,j)$ $u\ne v$ $i=j$ $u$ $v$ $G$ $\max(i,j)\le k$ 。如果这两个条件中的任何一个都成立，则向添加另一个 -clique 。在这个集团中，选择三个顶点，，并。将连接到集团中除和之外的每个顶点；将连接到集团中除和之外的每个顶点；并将连接到集团中除和之外的每个顶点。 $n$ $H$ $x'$ $y'$ $z'$ $x$ $y'$ $z'$ $y$ $x'$ $z'$ $z$ $x'$ $y'$

在步骤（3）中添加的小工具可防止在有效着色，将三个顶点，和赋予彼此相同的颜色。在集团可以从着色回收作为顶点集是在相同的颜色的等级和具有。 $x$ $y$ $z$ $H$ $G$ $H$ $(v,i)$ $x$ $i\le k$

— 大卫·埃普斯坦
source

太好了

— 威廉·麦克雷

由于某种原因，我的编辑被拒绝了，但是最后一句话应该描述G的顶点，而不是H（因为它旨在描述G中的集团）。像“中的集团

可以从H的着色为被回收

”此外，我忘了说感谢您的回答，这非常有帮助！G $G$

{v:∃i≤kχ((v,i))=χ(x)}. $\{v : \exists i \le k \chi((v,i)) = \chi(x) \}.$

— 威廉·麦克雷

当然，您可以在该句子中加入另一条从每对中删除

句子，但是我认为这一步骤很容易忽略，我的一般感觉是（当可以保持足够短的时候）散文倾向于比公式更易读。i $i$

— David Eppstein 2012年

我同意散文更为可取。也许只是添加一个短语，如“每个（v，i）...的第一个坐标...”。我担心技术性的原因是，当减少一读时，可能很难保持第一语言和第二语言中元素的准确定义，即哪一种。当某些东西似乎无法定义时，它可能会让我陷入困境。如果我在理解前面的句子时遇到麻烦，而最后一个句子，我将确定G和H的顶点形式为（v，i）。

— 威廉·麦克雷

我还应该说，我认为通过这种减少，您所做的工作要比我读过的几乎其他任何事情都要好得多。文献中存在一个问题，许多减少都被正式表述，没有动机或直觉，而您已经很好地避免了这种减少。

— 威廉·麦克雷

-7

?? 几十年来，众所周知，着色和集团发现是通过图论紧密联系在一起的（可能甚至在60年代？），甚至没有通过SAT作为中介（在1971年Cook证明之后就变得很典型）。相信有基于以下基本属性的算法：

如果G包含大小为k的小集团，则至少需要k种颜色才能为该小集团上色；换句话说，该色数至少是团数： $\chi(G) \ge \omega(G).\,$

不确定确切的参考文献，但[1,2]是一个很好的起点，这些书中至少有可能引用了确切的算法或参考文献。

[1] 第二次DIMACS挑战的小组，着色和满意度

[2] Dimacs第26卷：群体，着色和可满足性

— z
source

使用属性

，可以调用一种算法

上

：如果算法返回

，然后

不包含任何大小至少为

集团。但是，相反的含义并不成立：如果算法返回

，则

可能至少有一个大小集团。χ(G)≥ω(G) $\chi(G) \geq \omega(G)$

k−COLORABILITY $k-COLORABILITY$

G $G$

YES $YES$

G $G$

k+1 $k+1$

NO $NO$

G $G$

（作为反例，考虑一个金字塔，其多边形基部具有奇数个顶点的：它不是

-colorable，然而它并没有尺寸至少任集团

）。k+1 $k+1$

3 $3$

4 $4$

— Giorgio Camerani

是的，同意；正如我所解释的那样，最初的职位并不坚持削减的方向，而是更加强调避免将SAT作为中介，要求提供“相当简短的解释”。也没有人明显上述提到的仿真陈述到目前为止....问题和意见也似乎不准确指示以各种方式这两个问题不紧耦合....

— VZN

如果方向不明确，则表示歉意。我对正确的减少量感兴趣（是

$\iff$ YES），和我感兴趣的减少从桂系到 K色。我有另一个方向，这在我的帖子中进行了解释。当然，有很多事物将图形中的派系与图形中的着色相关，反之亦然，确实，我已经看过很多（并且我认为这里的许多其他人也看到过其中的许多），但是我真的很感兴趣直接减少或令人信服的解释，为什么它可能不存在。

— 威廉·麦克雷

@vzn：我的评论不是要批评您的回答。说实话，最初我做出了与您相似的推理，但是后来我意识到，如果相反的含义成立，那么一般图形上的

就是已知的NP完全的。，将仅通过检查输入图形是否具有一个集团已解平凡

节点：任何

本来

-colorable当且仅当它不含有尺寸的任何集团

（这是普通的假，当然，如金字塔反例显示）。顺便说一句：我不是投票失败的人。 $3-COLORING$

$4$

$G$

$3$

$4$

— Giorgio Camerani 2012年

@WilliamMacrae：很明显，您想减少

，否则就不会减少！同样，很显然，您希望从

到

而不是相反。 $\Longleftrightarrow$

$CLIQUE$

$COLORING$

— Giorgio Camerani 2012年