图同构问题的拟多项式时间算法的结果

在图同构问题（GI）可以说是一个最好的已知候选NP-中间问题。最著名的算法是运行时间为次指数算法。众所周知，除非多项式层次崩溃，否则GI不是。 $2^{O(\sqrt{n \log n})}$ $\mathsf{NP}$

拟多项式时间算法对图同构问题的复杂性理论后果是什么？
GI的拟多项式时间算法会否驳斥复杂性理论中的任何著名猜想？

其他类似的问题，如锦标赛中的最小支配集问题，组同构问题和锦标赛同构问题，也具有拟多项式时间（QP）算法。后两个问题是可归因于GI的多项式时间。

我们可以有效地将“比赛中的最小支配集”问题减少到GI吗？
是否有任何排除GI对QP造成困难的猜想？

更新（2015-12-14）：Babai已针对其GI的拟多项式时间算法发布了有关arXiv 的初步草案。

更新（2017年1月4日）：鲍鲍伊缩回的权利要求，该算法是在拟多项式时间，根据新的分析的算法是在亚指数时间在。 $\exp \exp(\tilde{O}(\sqrt{\lg n}))$ $2^{n^{o(1)}}$

更新（2017-01-09）：Babai 恢复了准多项式时间索赔，以更有效的程序代替了违规程序。

— 穆罕默德·图尔克斯坦尼
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我认为许多人确实认为它具有多项式时间算法，而AFAIK这样的算法不会有任何复杂性的理论后果。

— Huck Bennett

这并不是您所要的，但这是我所了解的：组同构具有自然且容易的准多项式时间算法，但是从GI到GroupIso：eccc证明没有

降低。 hpi-web.de/report/2010/117。一个形式上比您要提出的要容易得多的问题是，要证明从GI到GroupIso并没有减少多时制，但是仍然可以解决。

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

— 约书亚·格罗肖

两年后，我相信我们会得到答案。Laszlo Babai已证明GI具有拟多项式时间算法。资料来源：lucatrevisan.wordpress.com/2015/11/03/…–

— user3415207

@ user3415207 Babai撤回了准多项式运行时的声明。显然分析中有错误。

— 拉斐尔

@Raphael ...，Babai恢复了他的主张（与您的链接相同）。

— 丹尼

Answers:

据我所知，如果仅问一下地理标志在QP中这一事实的后果（作为黑匣子），我认为答案就很少。我能想到的一件事，不是定理，而是研究方向的结果，是群同构。由于GroupIso简化为GI，而且我们甚至都不知道GroupIso是否在P中，因此将GroupIso放入P中可以看作是将GI放入P的重要障碍（如果您认为后者可能是这种情况）。

$n^{\log n + O(1)}$ $2^{\tilde O(\sqrt{n})}$

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
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n^{O (\log \log n)}

$n^{O(\log \log n)}$

n^{O (\log \log n)^{c}}

$n^{O(\log \log n)^c}$

c

$c$

@JoshuaGrochow您是否同意我的观点？FrançoisLe Gall和David J. Rosenbaum在“论群与色同构问题”中采用的方法是否有意义？还是至少他们确实对一些对拉兹洛·巴拜的结果有基本了解之后会出现的问题？

— Thomas Klimpel

@ThomasKlimpel：我同意他们的论文是有道理的，尽管我还没有看到如何利用他们的见解（尽管理解了Babai的大部分证据）。

— 约书亚·格罗肖

β_{k} P

$\beta_k P$

$\varnothing$ $\Sigma^*$

— EmilJeřábek支持Monica
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拟多项式时间算法对图同构问题的复杂性理论后果是什么？

或多或少类似于用于素数测试的确定性多项式时间算法，用于线性规划的确定性多项式时间算法以及其他情况下的结果，其中实际情况是有效的（随机化）算法（算法变得效率低下的罕见病理例子）并长期使用。它证实了这样的猜想，即实践效率是克服了罕见病理学实例问题的确定性理论算法的一个很好的指标。

GI的拟多项式时间算法会否驳斥复杂性理论中的任何著名猜想？

不，这些猜想宁可去对面，即GI在P中。由于GI在NP中，因此不可能很快就驳斥这种猜想。

我们可以有效地将“比赛中的最小支配集”问题减少到GI吗？

最小支配集不是同构问题，因此没有理由可以预期它可以还原为GI。

是否有任何排除GI对QP造成困难的猜想？

我们甚至不知道如何将字符串同构问题简化为GI，至少这是一个同构问题。Babai的证明表明，字符串同构性存在于QP中，所以……QP到底难于说明什么呢？难于减少多项式时间？

摘自FrançoisLe Gall和David J. Rosenbaum的“论群和颜色同构问题”

同构测试问题的复杂性值得研究，这不仅是因为它们是基本的计算问题，而且还因为许多未知的问题都在P中，但看起来比NP完全问题更容易。其中最深入研究的是图同构问题。

$\mathsf{GI}^*$ $\mathsf{GrI}^*$ 定义（在上一篇文章中，但是作者正确地想知道为什么以前没有人做过），它们会添加字符串同构问题中缺少的部分。（颜色同构问题只是字符串同构问题的另一个名称。颜色自同构问题的名称可追溯到Babai和Luks的最初论文，名称字符串同构在后面的规范标注中出现。）

$\mathsf{GI}^*$

编辑：这个答案是在巴白宣布撤回解决方案之前撤回巴白结果的背景下给出的。这表明由字符串同构问题提出的图同构问题的轻微推广是真正重要的问题。这里的隐含期望是，对于图同构问题的任何合理算法都将导致针对广义图同构问题的类似算法。广义问题是多项式时间，它等于集合稳定器问题，群交集问题，陪集交集问题，集合输运者问题 ...。此期望的想法是广义问题将在递归部分中发生任何合理的算法，因此无论如何都必须解决它。（而且很可能广义问题是多项式时间等于图同构。）

现在，约书亚·格罗肖（Joshua Grochow）的评论表明，我无法成功地解释字符串同构问题中缺失片段的概念重要性。对于无限结构，可能更容易理解有效同构不仅应保留给定的结构，而且应属于函数的适当类别（例如，连续函数的类别）。对于有限结构，类似现象主要发生在商结构中，其中适当的函数类别应与给定商兼容。约翰逊的东西是这类商的典型示例，例如，分区逻辑作用于某个基本集的两个元素子集。另请注意，限制同构的允许类别通常会使同构测试问题更加容易，

图同构问题的一般化问题在哪里停止。为什么不概括到包含置换群同构问题呢？这个问题真的很难，因为图同构的许多非平凡结果也可能会延续到置换组同构。但是在这里，将计算置换群论本身视为一个主题似乎更为合理，即使它确实与图同构问题密切相关。

— 托马斯·克里姆佩尔
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$S_n$

@JoshuaGrochow对于颜色iso，颜色只是任意数字（wlog限制为[n]）。对于字符串iso，在固定的有限字母上给出字符串。我以为是二进制字母，但我记错了。我只是记得我最初对颜色iso是否只是字符串iso的另一个名称感到困惑。因此，当我决定在Laszlo撤回他的主张后阅读该论文时，对我来说感觉就像是与众不同。也许确实有区别，因为“在有限字母上”传达的是“固定您喜欢的有限字母，不会有任何区别”。没错

— 托马斯·克里姆佩尔

\log n

$\log n$

[n]

$[n]$

@JoshuaGrochow这正是我的意思，不会有任何区别。”是的。我现在尝试解决您的“字符串同构/颜色同构不属于该类”的评论。我喜欢从中吸取一些教训途中，Andreas Blass和Yuri Gurevich也尝试着重于概念点，我很高兴Babai修正了他的算法，因此我没有义务（或没有压力）研究图同构和字符串同构是否是多项式时间等价的（我写这个答案的背景是什么。）

— Thomas Klimpel，

我很困惑为什么您将GI的进展与非随机化的结果进行比较。

— Sasho Nikolov