如何产生没有哈密顿循环的随机图？

令A类表示所有具有哈密顿环的大小为的图。从此类中生成随机图很容易-获取孤立的节点，添加随机的汉密尔顿周期，然后随机添加边。 $n$ $n$

令B类表示不具有哈密顿环的所有大小为的图。我们如何从此类中选择随机图？（或做些接近的事情） $n$

ds.algorithms graph-theory

— 贾加迪什语
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如何清楚第一个过程随机均匀地生成图形？显然，它始终会生成哈密顿图，但是由于您稍后会随机添加边，因此您可能会引入更多哈密顿圈，从而使某些图的出现频率更高。

— 罗宾·科塔里

没错，但是没有要求统一分发（如果可能的话）。

— 拉斐尔

是的，我不在乎均匀性。我想给非哈密顿图族中的每个图都提供一些被选中的机会。均匀采样的问题是非常基本的：AFAIK，我们不知道如何从大小为n的图族中均匀采样，更不用说那些具有汉密尔顿周期的图了。

— Jagadish 2010年

Answers:

这是不可能的（除非NP = coNP），因为特别是这意味着一个多重时间函数，其范围是非哈密顿图（该函数从随机字符串到输出图），这又意味着NP-证明非哈密顿性（为证明G没有哈密顿回路，请显示x映射到它）。

— 诺姆
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您假定此类函数是非哈密顿图类的基础。只有在我们希望分布均匀的情况下才是这种情况。又见亚伦的下面的评论：cstheory.stackexchange.com/questions/562/...

— 辖Kammar

这并没有假设选择每个图的概率（就像它是统一的），仅假设算法可以输出的图恰好是非哈密顿图。如果您允许任何一方出错，那么确实有可能。

— 诺姆

我同意，重要的不是分布的均匀性，而是所有非哈密顿图都具有非零概率的事实。如果甚至其中之一的概率为零，则您的证明将不适用（无需进一步了解发行版本的支持）。

— Ohad Kammar

@Ohad：如果错过其中一个，则可以将其添加到查找表中。我认为问题只会在您遗漏了一部分积极问题的情况下才开始，但是您并不是在统一采样。

— 艾米（Emil）2010年

如果你的算法产生的概率在非哈密顿图的均匀分布与概率的Hamilton图，和作为输入的大小去，那么我认为你应该能够将该算法与随机哈希函数结合起来，以找到不具有汉密尔顿性的恒定回合交互式证明。这意味着多项式层次结构崩溃了

1 - ϵ

$1-\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

ϵ \to 0

$\epsilon \rightarrow 0$

\infty

$\infty$

— Peter Shor 2010年

Bollobas，Fenner和Frieze（http://portal.acm.org/citation.cfm?id=22145.22193）给出了一种多项式时间算法，用于在随机图中查找哈密顿循环，其错误率渐近趋向于0图的如果要生成非哈密顿量的n个顶点图，则可以选择一个具有的随机图 $G_{n,m}$ $m$ 从而使该图为恒概率为1的哈密顿量。然后，您可以运行BFF算法以尝试在其中找到哈密顿量，如果算法成功，则拒绝该图。经过一定数量的回合后，您可能会希望找到一个图，该图的算法未能找到哈密顿量，尽管该图实际上可能是哈密顿量，但其概率将在减小。 $n$

当然，这并不是从所有非哈密尔顿顶点图的集合中随机选择，而是从一个有趣的子类中进行选择-对于该子类，您希望图的一个非平凡部分也是哈密顿量，以及非平凡的分数不是。 $n$

— 亚伦·罗斯
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尽管我们可以跳过整个概率算法来查找Ham循环，但这是一个好主意。该问题并不要求采样过程按预期的多时制运行。因此，从您喜欢的分布中创建随机图，使用某种精确算法确定它是否为哈密顿量，如果它为哈密顿量，则将其丢弃并重复该过程。如果使用的分布是所有标记图的均匀分布，则实际上将以均匀的概率生成每个非哈密顿标记图。

— JimN 2010年

第一项任务很容易，因为哈密顿图易于验证。但是，没有已知的简短证据可以有效地验证给定图是否为非哈密顿量。

— 穆罕默德·图尔克斯坦尼
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我认为突厥斯坦的回答提出了一个有趣的问题。通常，是否可以从共NP完整的语言中进行统一采样？

— Suresh Venkat 2010年

....诺姆的回答是否定的。

— Suresh Venkat 2010年