树宽概念的由来

我今天的问题（像往常一样）有点愚蠢。但请您考虑一下。

我想知道树宽概念背后的起源和/或动机。我肯定知道FPT算法中使用了它，但是我不认为这就是定义此概念的原因。

我在Robin Thomas教授的课堂上写了关于这个主题的笔记笔记。我想我了解这个概念的一些应用（因为它将树的分离属性传递给分解的图），但是由于某种原因，我并不十分相信这个概念的产生是为了测量图的紧密度到树上。

我将努力使自己更加清楚（我不确定是否可以，如果问题不清楚，请告诉我）。我想知道在数学的其他分支中其他地方是否也存在类似的概念。我的猜测将是拓扑结构-但是由于缺乏背景，我什么也不能说。

我对此感到好奇的主要原因是，当我第一次阅读它的定义时，我不确定有人为什么会以及如何构想它以及达到什么目的。如果问题仍然不清楚，我将最终尝试以这种方式进行说明-让我们假装不存在树宽的概念。什么是离散设置的自然问题（或某些数学定理/概念的扩展）会导致人们将定义（如涉及的词）定义为树宽。

如果您真的想知道是什么导致Neil Robertson和我走向树宽，那根本不是算法。我们试图解决Wagner的猜想，即在任何无穷组图中，其中一个是另一个的次要图，而我们一开始就正确。我们知道如果我们限制到没有k顶点路径的图形，这是真的。让我解释一下原因。我们知道所有这些图都有一个简单的结构（更确切地说，每个没有k顶点路径的图都有这种结构，而每个有这个结构的图都没有2 ^ k顶点路径）；我们知道，在所有具有这种结构的无穷多个图形中，其中一个是另一个的次要。因此，瓦格纳的猜想对于最大路径长度有界的图是正确的。

我们也知道对于没有k星的未成年人图是正确的，这再次是因为我们对于此类图具有结构定理。我们试图寻找更普通的未成年人，这些未成年人具有相应的结构定理，可以用来证明瓦格纳的猜想，并且导致我们步入正轨。将ANY树排除为次要树，您将获得有限的路径宽度，如果您具有有限的路径宽度，那么有一些树将无法作为未成年人。（这对我们来说是一个很难的定理；我们在第一张Graph Minors论文中有一个极其艰难的证明，不要阅读它，可以使它变得容易得多。）但是我们可以证明Wagner对具有有限路径宽度的图的猜想，这意味着对于不包含任何固定树作为次要图的图，这是正确的；我前面提到的路径和星型情况的一个概括。

无论如何，这样做之后，我们试图进一步发展。我们不能做一般的图，所以我们考虑了平面图。我们找到了一个平面图的结构定理，该定理不包含任何固定的平面图（这很容易）。它是有界的树宽。我们证明，对于任何固定的平面图，所有不包含它的平面图都是次要的树宽。可以想象，这确实令人兴奋。碰巧的是，排除平面图（在较大的平面图内）的结构定理与排除树木（在一般图内）的结构定理是自然的转折。我们觉得我们做对了。这让我们证明了所有平面图的Wagner猜想，因为我们有了这个结构定理。

由于树宽可用于排除较大平面图中的平面图，因此，是否要排除非平面图中的平面图是一个自然的问题-是否确实对每个固定平面图而言，所有不包含平面图的图未成年人有界树宽吗？我们很长一段时间都无法证明这一点，但这就是我们考虑通用图的树宽的方式。一旦我们有了树宽的概念，就很明显这对算法很有用。（是的，我们不知道Halin已经考虑过树宽了。）

这是您自己提出树宽概念的方法。

假设您要在下图中计算独立集合的数量。

可以将独立集划分为顶部节点被占用的空间和空闲节点被占用的空间。

现在，请注意，知道顶层节点是否已被占用，您可以分别计算每个子问题中独立集合的数量，并将它们相乘。递归地重复此过程，将为您提供一种基于图分隔符对独立集合进行计数的算法。

现在，假设您不再有树。这意味着分隔符更大，但是您可以使用相同的想法。在下图中考虑对独立集合进行计数。

使用将问题分解为分隔符上的子问题的相同想法，您将获得以下内容

像前面的示例一样，总和中的每个项分解为两个较小的计数任务。

请注意，与上一个示例相比，我们的总和项更多，因为我们必须枚举分隔符上的所有配置，分隔符的大小可能会随着分隔符的大小（在这种情况下为2）呈指数增长。

树分解是一种数据结构，用于紧凑地存储这些递归分区步骤。考虑下图及其树分解

要使用这种分解进行计数，您首先需要将值固定在节点3,6中，将其分为2个子问题。在第一个子问题中，您还要修复节点5，该节点将其部分分成两个较小的子部分。

最佳递归分解中最大分隔符的大小恰好是树的宽度。对于较大的计数问题，最大的分隔符大小决定了运行时间，这就是为什么此数量如此重要的原因。

关于树宽的概念，即测量图与树的接近程度，使其直观的一种方法是查看与树图对应的树分解的替代推导。首先通过依次遍历顶点并互连每个顶点的所有“高阶”邻居来对图形进行三角剖分。

然后通过获取最大团并在它们的交点是最大分隔符的情况下进行连接来构造树分解。

基于递归分隔符和三角剖分的树分解方法是等效的。树宽+1是在图形的最佳三角剖分中最大的集团的大小，或者如果图形已被三角剖分，则为最大的集团的大小。

因此，从某种意义上讲，树宽为tw的弦图可以看作是树，其中，我们有最多tw + 1的大小簇重叠，而不是单个节点。非弦图就是这样的“树状树”，缺少一些集团边缘

这是一些和弦图及其树宽。

我相信树宽本身始于已经给出的Robertson Seymour论文。但是一些较早的先驱似乎是：

• 图的“尺寸”概念，可以控制其上的动态programming算法的行为（来自Umberto的Bertelé）；Brioschi，Francesco（1972），非串行动态编程。

• 图上的追逃游戏的概念，来自帕森斯，TD（1976）。“图形中的追逃”。图的理论与应用。施普林格出版社。第426–441页。后来，它的一种变体被证明等同于树宽：Seymour，Paul D .; 托马斯·罗宾（1993），“图搜索和树宽的最小-最大定理”，《组合理论杂志》，系列B 58（1）：22–33，doi：10.1006 / jctb.1993.1027。

• 平面图的分层结构，从Ungar，Peter（1951），“平面图定理”开始，伦敦数学协会学报1（4）：256，doi：10.1112 / jlms / s1-26.4.256，并继续Lipton和Tarjan在1979-1980年间发表了几篇论文。这种类型的层次结构中最大分隔符的大小与树宽密切相关。

前进到罗伯逊-西摩的想法可能已经开始浮现的时代，还有比Graph Minors II早的论文，它明确地将逃避和分离的想法联系起来，并定义了宽度等于路径宽度的概念：Ellis，JA；伊利诺伊州萨德伯勒；Turner，JS（1983），“图形分离和搜索编号”，过程。1983阿勒顿会议。关于通信，控制和计算。

Reinhard Diestel在其关于图论的专着中，将树宽和树分解的概念追溯到Halin于1976年发表的一篇论文（尽管未使用这些名称）。他还认为，平面网格图具有无限的树宽。当然，他还提到了Robertson和Seymour后来发表的论文，他们“重新发现了这个概念，显然没有意识到Halin的作品”（很抱歉，如果我的翻译不佳）。

• $S$
• 莱因哈德·迪斯特（Reinhard Diestel）。Graphentheorie，第三版德语，Notizen zu Kapitel10。（该书的某些英文版可在线免费下载。）

的概念树宽度 [1]（和类似的概念分支宽度）已经在他们的重要论文被引入由罗伯逊和西摩格拉夫未成年人。

$G$$H$

参见：北罗伯逊，PD西摩。图未成年人。二。树宽的算法方面。JCT系列B（1986）