＃2-SAT的＃P-完全子家族是什么？

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实际上，证明＃2-SAT是# P-完全的原始证据表明＃2-SAT的那些实例既是单调的（不涉及任何变量的求反）又是二分的（由图2中的子句形成的图）变量是二部图）是 #P -hard。因此，两个特殊情况＃2-MONOTONE-SAT和＃2-BIPARTITE-SAT是#P困难的。是否还有其他特殊情况可以用公式的“自然”特性来表征，这些特殊情况也是#P- Hard？

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问题＃2-SAT是计算的任务-为一个布尔公式由多个条款的结合，其中每个子句是两个文字的析取的或 -布尔串的数目使得。找出是否存在这样的很容易；但计算解决方案的数量通常是#P -complete，如Valiant在 $\phi$ $x_j$ $\bar x_j$ $x \in \{0,1\}^n$ $\phi(x) = 1$ $x$ 枚举和可靠性问题的复杂性，SIAM J. Comput。，8，第410-421页。

特别是对于＃2-SAT，Valiant实际显示的是通过对二分图中的匹配项（包括不完全匹配项）进行计数，从而减少了＃2-SAT，这导致了具有非常特殊结构的＃2-SAT实例，如下。

首先，说明该单调问题是等价的，通过取代，在其中每个变量的问题，要么在式发生或确实而不是两者。特别地，“单调递减”的问题，其中仅所述否定发生为每个变量是完全一样硬的情况下，单调。 $x_j$ $x_j$ $\phi$ $\bar x_j$ $\bar x_j$
对于具有边的任何图，我们可以通过为每个边分配变量来构造与匹配（不共享任何顶点的边集合）相对应的单调递减2-SAT公式它是否包含在边缘集中；一组的属性作为一个匹配等同于入射矢量满足CNF式其条款由下式给出 $G = (V,E)$ $m$ $x_e$ $M \subseteq E$ $\mathbf x = \chi_M$ $\phi$ $(\bar x_e \vee \bar x_f)$ 对于每对边缘共用一个顶点。通过构造，具有许多满足解决方案因为存在（可能不完善）在图形匹配数 $e, f \in E$ $\phi$ $\mathbf x \in \{0,1\}^m$ $G$ 。
如果我们要为其计算匹配次数的图是二分图，则它不包含奇数循环-我们可以将其描述为图中一系列以相同边开始和结束的边序列（不对最后边进行两次计数）。则不存在的变量序列在奇数长度的，其中相邻的变量都参与共同的条款。然后公式 $G$ $x_e, x_f, x_g, \ldots, x_e$ $\phi$ $\phi$ 将按照前面描述的方式是二分的。
计数在任意的二部图匹配数的数目，特别是能够用于计算一个二分图完美匹配的数目：给定一个输入bitrarite图具有两个bipartitions 的相同的大小，可以创建图通过增加随地连接到所有的顶点的顶点额外。因为所有匹配项在 $G = (A \cup B, E)$ $A, B$ $n$ $G_k$ $A$ $0 \leqslant k \leqslant n$ $B$ $G$ 给定大小的对的匹配数量的贡献不同，通过计数这一项，可以确定大小为中的匹配（即完美匹配）；并注意，在二分图计数完美匹配的数目为等价于计算的永久 $G_k$ $G$ $n$ $\{0,1\}$ 通过简单的对应关系-matrices。

＃2-SAT实例的类别显示为那么 #P -hard单调二分实例。

问题：＃2-SAT还有哪些其他特殊情况？由于这种减少或其他减少 # P-什么？

如果除了显示/引用减少量之外，人们还可以描述一个直观的原因，说明特殊情况如何为自然方法计算令人讨厌的任务提供障碍，这将是很有趣的。例如，尽管MONOTONE-2-SAT可以轻易解决（始终是一个解决方案），但是单调实例是在其中将某些变量分配给固定值的实例，这些实例通常无法对其余变量施加很多约束。固定任何变量只会限制某些子句与之直接相关的变量的值；并设置 $\mathbf x = 1^n$ $x_j = 0$ $x_j = 1$ 完全不限制任何其他变量的可能值。（尚不清楚对二部图的可比限制是否以相同的方式显着；但是，二部限制似乎是在添加结构而不是删除结构，但它没有添加足以有效计数的结构。）

编辑添加。任何此类最终不依赖单调实例的类都将获得奖励积分（如上述＃2-BIPARTITE-SAT所做的那样，其硬度显然是由于包含了#P-硬特例＃2） -MONOTONE-BIPARTITE-SAT）。例如，关于＃2-BIPARTITE-SAT的硬度的论点不依赖于单调实例（但可能依赖于某些其他子族）将是有趣的。

cc.complexity-theory sat counting-complexity

— 尼尔·德·波德拉普（Niel de Beaudrap）
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不完全是您在问题末尾所要的，但是有一个减少，即给定任意的CNF公式

，它返回一个2-SAT公式

，该公式不是单调的，并且具有以下性质：

具有奇数个的设置为true减去的解的数目的变量

具有设置为TRUE变量偶数等于解的数目

。

Φ

$\Phi$

Ψ

$\Psi$

Ψ

$\Psi$

Ψ

$\Psi$

Φ

$\Phi$

— Giorgio Camerani'2

我忘了说

也是二分的。

Ψ

$\Psi$

— Giorgio Camerani '16

＃3-常规两部分平面顶点覆盖为＃P-完全

由于计算顶点覆盖范围与计算单调＃2-SAT实例的满意分配完全相同，因此以上结果表明，对单调和3正则的＃2-SAT实例的满意分配进行＃P-完全计算以及二分和平面。

这又意味着，除了已经在问题中引用的两个＃2-MONOTONE-SAT和＃2-BIPARTITE-SAT特殊情况外，两个＃2-CUBIC-SAT和＃2-PLANAR-SAT特殊情况是#P也完成。

— Giorgio Camerani
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