快速计算生成树的数量

$t(G)$ $G$ $n$ $t(G)$ $O(n^3)$ $\frac{1}{n^2} \det(J + Q)$ $Q$ $G$ $J$ $1$

我想知道是否有某种方法可以更快地计算。（是的，用于计算行列式的算法比算法快，但我对某些新方法感兴趣。） $t(G)$ $O(n^3)$

它也有兴趣考虑特殊的图形族（平面的，也许？）。

例如，对于循环图，可以在计算经由身份算术运算，其中是的拉普拉斯矩阵的非零特征值，可以快速地为循环图计算。（将第一行表示为多项式，然后在第个单位根上进行计算-此步骤使用离散傅立叶变换，可以用算术运算完成。） $t(G)$ $O(n \lg n)$ $t(G) = \frac{1}{n} \lambda_1 \dotsm \lambda_{n-1}$ $\lambda_i$ $G$ $n$ $O(n \lg n)$

非常感谢你！

— 芬斯基
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谢尔盖，我试图编辑您的问题以提高清晰度。请检查我是否正确理解了您的问题，并且未引入任何错误。

— 泰森·威廉姆斯

这里是其中发现的复杂性可以被做得更快图表家庭更一般的例如：阿贝尔群Cayley图与发电机设置，使得。我们知道这种矩阵的特征值是，其中是该组的不同字符。所有字符都很容易找到（有关更多信息，请参见本文），计算这些字符是维FFT（请参见Cormen等人关于FFT的章节），即可以在。

G

$G$

S

$S$

S^{- 1} = S

$S^{-1} = S$

\sum_{h \in S} χ (h)

$\sum_{h \in S} \chi (h)$

χ

$\chi$

n

$n$

O (n \lg n)

$O(n \lg n)$

— Finsky 2013年

有关Cayley图的更多信息，请参见本书。

— Finsky 2013年

用拉普拉斯算子而不是一般矩阵做线性代数通常更容易。我想知道这是否有意义。

— 吉·凯莱

如果可能，请更具体地提供一些示例，即使它与所讨论的主题没有直接关系也是如此。谢谢。

— Finsky

据已知的是，对于有界树宽的，所述多项式TUTTE 可以在任何评价使用的算术运算。如果连接，然后。 $G$ $T(G;x,y)$ $(x,y)$ $O(n)$ $G$ $t(G)=T(G;1,1)$

— 拉图库蒂卡皮安
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