能否有效地对多边形图中的顶点邻居进行均匀采样？

我有一个多面体 $P$ 由下式定义 $\{ x : Ax \leq b, x \geq 0\}$ 。

问题：给定顶点 $v$ 为 $P$ ，是否存在多项式时间算法可从的图中的 $v$ 的邻居中均匀采样？（维度上的多项式，方程式的数量以及的表示形式。我可以假设方程式的数量在维度上是多项式的。） $P$ $b$

更新：我认为我能够证明这是NP难的，请参阅我的答案来解释该论点。（用 $NP$ -hard表示，多项式时间算法将证明 $RP = NP$ ...不确定此处使用的是正确的术语。）

更新2：有两行 $NP$ 硬度证明（给出了正确的组合多义位），我找到了Khachiyan的文章。请参阅答案以获取描述和链接。:-D

一个等效的问题：

彼得·索尔（Peter Shor）在评论中指出，这个问题等同于我们是否可以从一个给定的多边形的顶点均匀采样的问题。（我认为等价性是这样的：在一个方向上，我们可以从具有顶点的多面体 $P$ 转到，处的顶点图，的顶点进行采样就相当于对的顶点进行采样上。在另一个方向上，我们可以从一个多面体去到多面体一个更高维度的通过添加锥顶点和基 $v$ $v$ $P/v$ $P/v$ $v$ $P$ $P$ $Q$ $v$ $P$ 。然后在对 $v$ 的邻居进行采样等效于对的顶点进行采样。） $Q$ $P$

之前已经问过这个问题的提法：https : //mathoverflow.net/questions/319930/sampling-uniformly-from-the-vertices-of-a-polytope

— 洛伦佐·纳伊特（Lorenzo Najt）
source

我不知道您问题的答案，但据我所知，尚无已知的NP硬度来统一采样明确给出的多义峰的顶点。例如，大约采样周期是NP难的。但是，如果有一些线性程序的顶点对循环进行编码，则很有可能可以优化循环的长度，从而求解哈密顿量。

— 衡国

另一个说明是，即使您的问题的答案是肯定的，也不会为顶点生成统一的采样器（假设0-1多义猜想）。在最有趣的情况下，多面体的骨架不是规则的，并且度数可以呈指数变化。

— 衡国

@HengGuo再次感谢您的评论，它们非常有帮助。您是否偶然知道一个很好的例子，说明度数呈指数变化？（对于一般的多面体会发生这种情况，我并不感到惊讶；如果知道一个

— 复杂的

考虑二部图的独立集多面体。如果两个顶点（两个独立的集合）的对称性差诱导出一个相连的子图，则它们是相连的。现在，获取一个二部图，其一侧只有两个顶点，

连接到另一侧的每个顶点，而

只有一个。考虑独立集

和

。

v_{1}

$v_1$

v_{2}

$v_2$

{v_{1}}

$\{v_1\}$

{v_{2}}

$\{v_2\}$

— 衡国

均匀采样多面体给定顶点的相邻顶点与均匀采样多面体的随机顶点是相同的问题。切掉无限接近顶点的圆锥。然后会有一个新的多面体，如果您可以对该新的多面体的一个顶点进行采样，则可以对原始多面体的一个相邻的顶点进行采样。我猜这大概是在BPP中进行的，但是我找不到任何证明这一点的论文。

— 彼得·索尔

$NP$

首先，回忆一下生成多面体的所有顶点的第4页底部的图的循环多面体很难。

它的顶点与有向简单周期是双射的。因此，很难通过JVV Proposition 5.1进行抽样或计数。:-D

配备了这些关键字之后，我就可以根据Khachiyan 的“ 横向超图和多面锥的族”的定理1来确定采样结果的难度。

编辑：我写下下面的参数，它看起来是正确的。但是，有一个更简单的参数，我将在这里概述：

a）通过对列出凸多面体的所有顶点和所有面的回溯算法进行分析（Fukuda等人），用NP很难解决多面体上的以下问题：

$Ax = b , x \geq 0$ $\mathbb{R}^n$ $S \subseteq n$

$v$ $P$ $S$

$y_{ik}$ $i \in S$ $k = 1, \ldots, d$ $0 \leq y_{ik} \leq x_i$ $P_{S,d}$ $d |supp(x) \cap S|$

$2^{d | supp(x) \cap S|}$ $supp$

$d$ $P_{S,d}$ $S$

似乎有各种扩展。编写完成后，我将使用链接更新。

（以前的参数曾经在这里-它在编辑历史记录中。我删除了它，因为它很长，会干扰找到问题的正确答案。）

— 洛伦佐·纳伊特（Lorenzo Najt）
source

H_{1}

$H_1$

H_{0}

$H_0$

l e a v e s

$leaves$

d

$d$

| H_{0} |

$|H_0|$

| H_{1} |

$|H_1|$

这一定有问题。如果存在一个顶点为套索和简单周期的多面体，我们是否不能使用线性编程来最大化我们想要的对该多面体的线性函数？难道不是让我们在多项式时间内找到了一个套索吗？

— 彼得·索尔

@PeterShor我认为这不会发生，因为多面体位于通过将边缘变量之和设置为1定义的超平面内。因此，该功能在多义位上是恒定的。表示边数的函数是矢量支持的大小，在此多边形上是非线性的。

— 洛伦佐·纳伊特

@PeterShor我添加了一个证明，即“边数”功能不能是线性的，请参见底部的图片。

— 洛伦佐·纳伊特