图分解以结合顶点标记的“局部”功能

假设我们要找到 或 最大X Π 我Ĵ ∈ È ˚F（X我，XĴ

$$\sum_x \prod_{ij \in E} f(x_i,x_j)$$ $$\max_x \prod_{ij \in E} f(x_i,x_j)$$

如果对V的所有标记取max或sum $V$，则对图G = \ {V，E \}的所有边E取乘积，并且f是任意函数。对于有界树宽图，容易找到此数量；对于平面图，通常很难找到此数量。适当着色的数量，最大独立集和欧拉子图的数量是上述问题的特殊情况。我对此类问题的多项式时间逼近方案感兴趣，尤其是对于平面图。哪些图分解会有用？$E$$G=\{V,E\}$$f$

编辑11/1：作为示例，我想知道分解可能类似于统计物理学的聚类扩展（即Mayer扩展）。当$f$表示弱相互作用时，此类展开收敛，这意味着您可以使用$k$项来达到给定的精度，而不管图形的大小。这是否意味着该数量存在PTAS？

更新02/11/2011

高温膨胀将分区函数Z重写$Z$为项的总和，其中高阶项依赖于高阶相互作用。当“相关性衰减”时，高阶项衰减得足够快，因此几乎所有$Z$的质量都包含在有限数量的低阶项中。

例如，对于Ising模型，请考虑其分区函数的以下表达式

$$Z=\sum_\mathbf{x\in \mathcal{X}} \exp J \sum_{ij \in E} x_i x_j = c \sum_{A\in C} (\tanh J)^{|A|}$$

这里$c$是一个简单的常数，$C$是我们图的一组欧拉子图，$|A|$是子图A中的边数$A$。

我们重写了分区函数，将其作为子图的总和，其中总和中的每个项均根据子图的大小按指数方式受到惩罚。现在将具有相同指数的项组合在一起，并通过取前k个项来近似Z。当大小为p的欧拉子图的数量增长不太快时，我们的近似误差随k呈指数衰减。$Z$$k$$p$$k$

一般而言，近似计数很难，但是对于“相关衰减”实例则很容易。例如，在Ising模型的情况下，当$f(k)$增长速度比（\ tanh J）^ k慢时，相关衰减就会下降$(\tanh J)^k$，其中$f(k)$是大小为k的欧拉子图的数量$k$。我相信在这种情况下，缩短高温膨胀会为Z提供PTAS$Z$

另一个例子是对加权独立集进行计数-如果权重足够低，则对于任何图形来说都是易于处理的，因为您可以使问题表现出相关性衰减。然后，通过对有界大小区域中的独立集合进行计数来近似数量。我相信Dror Weitz的STOC'06结果表明，最大度数为4的任何图形都可以进行未加权的独立集合计数。

我发现了两个“局部”分解族-Bethe簇图和Kikuchi区域图。Bethe分解实际上告诉您将区域中的计数相乘，然后将区域重叠中的计数除以。菊池区域图方法通过使用“包含－排除”类型的校正，考虑到区域重叠本身可以重叠，对此进行了改进。

另一种方法是将问题分解为全局易处理的部分，例如“组合空间的变分推断”。但是，局部分解使您可以通过选择区域大小来控制近似质量

我想说的话对评论太久了（但实际上应该是）。

如果我正确地阅读了该问题，则需要上述两个量之一的FPRAS（完全多项式随机逼近方案），每个量都包含各种#P完全问题作为特殊情况。特别是，在平面图的情况下，您希望通过使用聚类展开来使用常规的FPRAS。

我怀疑是否存在这种可能性，因为存在问题的NP完全性（例如，正确的着色）暗示着#P中关于AP可约性（近似值-保存）。参见Dyer，Goldberg，Greenhill和Jerrum，Algorithmica（2004）38：471-500。

但也许我误解了这个问题。

（实际上，您能否一开始就解释高温膨胀的含义？）