非负整数中的线性二阶方程方程

关于非负整数中的线性双色子方程的NP完全问题，我几乎找不到信息。也就是说，存在非负 $x_1,x_2, ... , x_n$ 到方程，其中所有常数都是正数？我所知道的唯一值得注意的问题是Schrijver的线性和整数规划理论。即便如此，这也是一个相当简短的讨论。 $a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... + a_n x_n = b$

因此，非常感谢您可以提供有关此问题的任何信息或参考。

我主要关心两个问题：

它完全是NP-Complete吗？
计算解决方案数量＃P-hard甚至＃P-complete的相关问题吗？

— 4evergr8ful
source

这确实不是研究级别的问题，我很难相信您没有找到更多信息。从这里开始：en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem

— domotorp

对于2），afaik没有自然计数版本不是＃P-complete的NP-complete问题的已知示例。为您的特定问题找出简约的简化方法可能比查找参考要容易。本文针对与之密切相关的#SubsetSum进行了处理：crt.umontreal.ca/~gerardo/tsppd-p-complete.pdf

— Sasho Nikolov

请问@domotorp和4evergr8ful都需要更多礼让吗？第一个可能解释了背包问题如何简化为这样的Diophantine方程，他似乎认为是这种情况，而4evergr8ful可能会降温，特别是因为他既在寻求帮助，又在本论坛的工作中显然缺乏经验。但是我也考虑过背包问题，对我来说还不清楚它是否简化为Diophantine方程的正解。

— Andrej Bauer 2013年

如@Austin所提到的，OP与背包的动态程序思想可以解决

是多项式有界的多项式时间内的问题。因此，不，问题不是强烈的np-complete。和domotorp有充分的理由将您指向背包背包Wiki页面。

a_{i}

$a_i$

— Sasho Nikolov

@ 4evergr8ful当然，我认为您已经解释了这句话。那没问题。但是，您通过将“六个”更改为“每个”来错误地引用了它们。由于G＆J定义为简约（即解决方案的数量完全相同），因此NP中问题之间的每一个减少都可以使简约成为非事实，除非P =奇偶性-P。原因是从SAT到NAE-SAT的标准缩减引入了2的幂。这是可以预期的，因为SAT对于Parity-P是完整的，但NAE-SAT很容易（存在明显的配对）分配，因此答案始终是偶数= 0）。

— 泰森·威廉姆斯

Answers:

关于（1），问题不是很强的NP-难，参见此处的推论1 ：

CH，Papadimitriou（1981）。关于整数编程的复杂性。ACM杂志，28（4），765-768。

关于（2），如果所有常数均为正，则问题显然出在#P上。SubsetSum还有#P完整版本，几乎适合您的问题实例，但是确实要求为0或1，请参见此处： $x_i$

Faliszewski，P.和Hemaspaandra，L.（2009）。幂指数比较的复杂性。理论计算机科学 410（1），101-107。

我确信，通过Faliszewski和Hemaspaandra所使用的结构可以调节，使得要求，不需要并会因此要求该问题是＃P-完成，条件是常数以编码二进制 $x_i\in \{0,1\}$

— 克里斯多夫·哈斯
source

我根本不是专家，但是我想开始进行建设性的讨论。这是基于math.stackexchange.com问题的尝试。计算线性双色子方程的正解数。这些东西与Erhart多项式有关，我对此一无所知，我还认为与@SashoNikolov的上述评论有关。

限定 $N(a_1, a_2, \ldots, a_n; b)$

{一种}_{ñ} X_{ñ} + {一种}_{ñ - 1个} X_{ñ - 1个} + \dots + {一种}_{1个} X_{1个} = b ，

$a_n x_n + a_{n-1} x_{n-1} + \cdots + a_1 x_1 = b,$

a_{i}

$a_i$

b

$b$

和

ñ （ {一种}_{1个}; b ） = {\begin{cases} 1个 & 如果 {一种}_{1个} ∣ b \\ 0 & 除此以外 \end{cases}

$N(a_1; b) = \begin{cases} 1 & \text{if $a_1 \mid b$} \\\\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

ñ （ {一种}_{1个} ， \dots ， {一种}_{ñ + 1个}; b ） = \sum_{0 \leq ķ \leq b / {一种}_{ñ + 1个}} ñ （ {一种}_{1个} ， \dots ， {一种}_{ñ}; b - {一种}_{ñ + 1个} ķ ）

$N(a_1, \ldots, a_{n+1}; b) = \sum_{0 \leq \ k \ \leq b/a_{n+1}} N(a_1, \ldots, a_n; b - a_{n+1} k)$

k

$k$

b

$b$

— 安德烈·鲍尔（Andrej Bauer）
source

亲爱的安德烈（Andrej），在NP硬度很强的情况下，我们根据输入值而不是输入值的长度进行度量。另请参见：en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem#Dynamic_programming

— domotorp

@domotorp，我认为Andrej正在解决第二个问题，关于#P完整性，而不是第一个问题，即关于强NP完整性，据我所见，这很容易回答（不，问题不是强NP -完成）。安德烈（Andrej），我很困惑您希望在这里显示什么？由于决策问题是NP完全的，因此您不能希望计算解决方案的数量。您是否希望估算解决方案的数量？还是有一个比指数快的时间算法？

— Sasho Nikolov

顺便说一句，我认为本文中的算法（通过动态编程近似估计背包问题的解决方案数量）很可能适用于双色子

— Sasho Nikolov

我了解到有关此问题的另一个事实。有三种人：称其为#linear diophantine问题，称其为#unbound背包问题的人们，最后是称其为抑菌剂问题的人们。而且他们似乎不互相交谈。

— 2013年