Ben-Dor / Halevi对永久物的#P完全证明提出质疑

在Ben-Dor / Halevi [1]的论文中，给出了另一个证明，证明永久性是 。在本文的后半部分，他们显示归约链 IntPerm ∝ NoNegPerm ∝ 2PowersPerm ∝ 0 / 1-Perm， 而永久值沿链保留。由于3SAT式satiesfying指配的数量Φ可以从永久值来获得，它足以计算永久的最后的0 / 1 -矩阵。到目前为止，一切都很好。$\#P$

$$\begin{equation} \text{IntPerm} \propto \text{NoNegPerm} \propto \text{2PowersPerm} \propto \text{0/1-Perm} \end{equation}$$ $\Phi$$0/1$

然而，众所周知的是，永久一个的 -矩阵甲等于完美匹配的在二分双层盖的数目ģ，即，从矩阵的图表（0 阿甲吨 0）。如果G证明是平面的，则可以有效地计算此数字（使用Kastelyens算法）。$0/1$$\text{A}$$G$$\begin{pmatrix} 0 & \text{A} \\ \text{A}^t & 0 \end{pmatrix}$$G$

因此，总而言之，如果最终图G是平面的，则有人可以计算布尔公式的满意分配数。$\Phi$$G$

由于的嵌入在很大程度上取决于公式Φ，因此希望存在某些公式，这些公式更经常导致平面二分覆盖。有谁知道是否曾经研究过G平面化的可能性有多大？$G$$\Phi$$G$

由于计算满足需求的解决方案是，因此可以肯定，这些图几乎总是非平面的，但是我找不到关于此主题的任何提示。$\#P$

[1] Amir Ben-Dor和Shai Halevi。零一永久性是#p完全的，更简单的证明。在第二届以色列计算系统理论研讨会上，第108-117页，1993年。以色列纳塔尼亚。

近年来，Valiant，Cai，Lu，Xia，Lipton等研究人员以全息算法的名义对这一主题进行了广泛的研究。基本上，已经根据二分法（FP vs.＃P-complete）确定了#CSP的所有易处理案例（计数约束满足问题）。特别是，Matchgate计算已被识别为在平面图上变得易于处理的特定计数问题类别。参见例如该链接以获取更多参考。

通常，未加权的#CSP问题由一组关系定义，并且问题#CSP（Γ）的输入为公式Φ。$\Gamma$$\Gamma$$\Phi$

如果仅包含最多为1的稀疏关系，则每个可能的输入Φ都对应于具有不连续星图的图，该图是平面的。此外，如果Γ包含2或更大的关系，则很容易构造非平面的实例。（将变量视为一个图的顶点，将二元约束作为这些变量顶点之间的边。更高的Arity也起作用。这样，任何图都可以构造，至少可以作为另一个图的子图来构造。）$\Gamma$$\Phi$$\Gamma$

$\Gamma$$\Phi$$\Phi$

$G$$\Phi$$G$