计算整数的因数有多难？

给定长度为位的整数，输出的素因数（或可替代的因数）有多难？ $N$ $n$ $N$

如果我们知道的素因式分解，那么这将很容易。但是，如果我们知道素因子的数量或一般因子的数量，则不清楚如何找到实际的素因子分解。 $N$

研究这个问题了吗？是否有已知的算法可以解决这个问题而没有找到素因数分解？

这个问题是由好奇心引起的，部分原因是由数学SE问题引起的。

— Artem Kaznatcheev
source

如果素因子的数量很大，则意味着N具有一个容易找到的小因子。另一方面，如果N的素数个数很小，比如说2，那么这类似于分解两个素数的乘积的问题，而知道素数为2似乎无济于事。请看Omid关于平均硬度的问题。

— 卡夫

还有一两件事，因为分工是一致的

，计算所有因素（不只是素因子）的问题是

，因此也是

（和可能是也完成了

下

减少）。

T C^{0}

$\mathsf{TC^0}$

# T C^{0}

$\mathsf{\#TC^0}$

P

$\mathsf{P}$

# T C^{0}

$\mathsf{\#TC^0}$

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

— 卡夫

Kaveh，如果您可以将上面的评论扩展为答案，那将很棒。我完全不看在师如何

让你以计数因素

不也暗示保理是在

。这种误解很可能是由于我自己的失败，但更详细的答案会有所帮助。

{TC}^{0}

$\text{TC}^0$

# {TC}^{0}

$\#\text{TC}^0$

{TC}^{0}

$\text{TC}^0$

— 2011年

著名的AFAIK！这太容易了。但是我看不出争论在哪里。PS：我想我知道看到的，我的定义

是没有好（这是一样的

），这就是问题。

# T C^{0}

$\mathsf{\#TC^0}$

# P

$\mathsf{\#P}$

— 卡夫

@ Artem，

定义为

机器的接受路径数，并且

机器只能使用对数（in

）的空间来猜测

。如果使用我编写的定义，我们将猜测太多的比特，一次多项式猜测的

计算将捕获

，类似地计算

机器接受的多项式大小的

s 数将得出

# L

$\mathsf{\#L}$

N L

$\mathsf{NL}$

N L

$\mathsf{NL}$

| y |

$|y|$

x

$x$

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

N P

$\mathsf{NP}$

x

$x$

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

# P

$\mathsf{\#P}$ （还猜测计算并验证它确实是可接受的计算）。

— 卡夫

Answers:

这不是我的答案，但是陶仁涛在MathOverflow上对这个问题给出了漂亮的答案。

这是他回答的前几行。要阅读完整答案，请点击链接。

有一种民间传说的观察，即如果一个人能够快速计算一个整数n的素数，那么一个人很可能就能快速地将n分解为整数。因此，人们认为计数质数因子问题与分解因子具有相当的难度。

（我不确定这应该是答案还是评论。但这确实是一个答案，尽管它不是我写的。我已经做了答案社区Wiki，以便可以不必要地对其进行投票或接受。给我声誉。）

— 罗宾·科塔里（Robin Kothari）
source

在我看来，指向这样的答案的指针值得获得声誉分数（因此不应成为社区Wiki），但我知道不同的人有不同的看法。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2012年

但是，这是不是一个正式的减少....

— ARNAB

@arnab：不，不是。这就是为什么他写了“那么一个人可能很快就能完全

— 分解

$N$ $n$ $N$ $N$ $\log_3(N)$ $N^{1/p}$ $N$ $p$

— Foo Barrigno
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