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我们知道，多项式层级（即NP和共NP）的第一级是在PP，以及。我们也知道，从户田定理即P ^ h ⊆ P P P。$PP \subseteq PSPACE$$PH \subseteq P^{PP}$

$PH \subseteq PP$$P$$PP$$PP$$PH \nsubseteq PP$$PP \nsubseteq PH$

这个问题很简单，但是我没有找到解决它的资源。

在学习更多有关该主题的知识之前，我问过这个与数学溢出相关但不那么具体的问题。

这里是一个略微相关的（但不同）的问题：是？$coNP^{\#P}=NP^{\#P}=P^{\#P}$

更新：在这里看看Noam Nisan的问题：有关PP中PH的更多信息？

就像Lance和Robin指出的那样，Huck确实有关于PH不在PP中的预言。但这并不能回答您的问题，那就是“真实”（相对化）世界中的情况！

简短的答案是（与复杂性理论中的许多其他知识一样）我们不知道。

但是，更长的答案是，有充分的理由推测确实是PH⊆PP。

首先，户田定理隐含了PH⊆BP.PP，其中BP.PP是“对于PP而言就像PP对P一样复杂”的复杂度类（换句话说，PP可以使用随机化来决定要计算哪个MAJORITY计算）执行）。其次，在合理的非随机化假设下（类似于Nisan-Wigderson，Impagliazzo-Wigderson等已知的隐含P = BPP的假设），我们将得到PP =BP.PP。

附录，以解决您的其他问题：

（1）我想说，关于PP = P ^PP的问题，我们都没有令人信服的直觉。从Beigel-Reingold-Spielman和Fortnow-Reingold的结果我们知道，PP在非自适应（真值表）减少下被关闭。换句话说，可以并行查询PP oracle的P机器没有PP本身强大。但是，对于PP oracle的自适应（非并行）查询，这些结果完全崩溃了，这一事实表明，后者实际上可能更强大。

（2）同样，NP ^PP和coNP ^PP可能仍然比P ^PP更强大。PP ^PP可能仍然更强大，依此类推。序列P，PP，P ^PP，PP ^PP，P ^{PP ^ PP}等被称为计数层次结构，就像人们猜想PH是无限的一样，所以也可以猜想CH（尽管可能没有那么大信心！）。是无限的。这与以下观点紧密相关：在恒定深度的阈值电路（即神经网络）中，增加更多的阈值门层将为您提供更多的计算能力。

理查德Beigel具有预言相对于其中不包含在PP。$P^{NP}$

Vereshchagin [Ver]显示，PP中没有包含与之相对的Oracle。（此结果似乎与与PP结果无法比拟。）$P^{NP}$

[Ver] NK Vereshchagin。关于PP的威力，《 IEEE复杂性》会议论文集92，第138-143页，1992年。

到目前为止（据我所知）尚未提及并且在相对化世界中仍然存在的一些事物如下：

Vyalyi在本文中观察到了这一点，它来自两个定理的增强：

1. 托达定理-Vyalyi表明，对 oracle的一个查询足以使“ machine”模拟。$\sharp P$$P$$PH$
2. Kitaev和Watrous证明了包含。Vyalyi证明也在，该类包含在。$QMA \subseteq PP$$QMA$$A_0PP$$PP$