#P = FP的后果

#P = FP的后果是什么？

我对实践和理论上的结果都很感兴趣。

从实践的角度来看，我对人工智能的后果特别感兴趣。

指向论文或书籍的指针非常受欢迎。

请不要说#P = FP意味着P = NP，我已经知道了。另外，请不要说“如果算法在时间运行，不会有实际的后果，其中是宇宙中的电子数” $\Omega(n^{\alpha})$ $\alpha$ ：让我假设，如果存在一个针对#P完全问题的确定性多项式时间算法，其运行时间为“ clement”（例如）。 $O(n^2)$

— 乔治·卡梅尼（Giorgio Camerani）
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Answers:

这是等式FP =＃P的一些理论结果，尽管它们与人工智能无关。假设FP =＃P等效于P = PP，所以让我使用后一种表示法。

如果P = PP，则我们有P = BQP：可以通过经典的确定性多项式时间计算来模拟量子多项式时间计算。这是BQP⊆PP[ADH97，FR98]（和较早的结果的BQP⊆P的直接后果^PP [BV97]）。据我所知，从P = NP的假设中得知P = BQP是未知的。这种情况是由随机化计算（的情况下不同的BPP）：因为BPP⊆NP ^NP [Lau83]时，平等P = BPP从P = NP如下。

P = PP的另一个结果是，在一定范围内具有有理常数的实数的Blum-Shub-Smale计算模型在某种意义上等效于图灵机。更精确地，P = PP意味着P = BP（P _ℝ⁰）; 也就是说，如果一个语言大号 ⊆{0,1} ^*是通过在在多项式时间内实数无恒定程序可判定的，然后大号是由一个多项式时间图灵机可判定的。（这里的“BP”表示“布尔份”和无关与BPP。）这是从BP（P _ℝ⁰）⊆ CH [ABKM09]。有关定义，请参见本文。在BP（P的一个重要问题_ℝ⁰）是平方根和问题和朋友（例如“给定一个整数k和平面上有限的一组整数坐标点，是否有一个总长度最大为k的生成树？”）[Tiw92]。

与第二个参数类似，如果P = PP，则在以二进制形式给出正整数 x 和 y 时计算x ^y中的特定位的问题将在P中。

参考文献

[ABKM09]埃里克·艾伦德（Eric Allender），彼得·比尔吉瑟（PeterBürgisser），约翰·凯德盖德·佩德森（Johan Kjeldgaard-Pedersen）和彼得·布洛·米尔特森（Peter Bro Miltersen）。关于数值分析的复杂性。 SIAM Journal on Computing，38（5）：1987–2006，2009年1月。http ://dx.doi.org/10.1137/070697926

[ADH97] Leonard M. Adleman，Jonathan DeMarrais和Ming-Deh A. Huang。量子可计算性。 SIAM学报在计算，26（5）：1524年至1540年10月1997年 http://dx.doi.org/10.1137/S0097539795293639

[BV97] Ethan Bernstein和Umesh Vazirani。量子复杂性理论。 SIAM学报在计算，26（5）：1411至1473年10月1997年 http://dx.doi.org/10.1137/S0097539796300921

[FR98]兰斯·福特诺（Lance Fortnow）和约翰·罗杰斯（John Rogers）。量子计算的复杂性限制。 [计算机与系统科学，59（2）：240-252，1999年十月 http://dx.doi.org/10.1006/jcss.1999.1651

[Lau83]克莱门斯·劳特曼。BPP和多项式时间层次结构。 信息处理快报，17（4）：215-217，1983年十一月 http://dx.doi.org/10.1016/0020-0190(83)90044-3

[Tiw92] Prasoon Tiwari。在单位成本代数RAM上更容易解决的问题。 杂志复杂性，8（4）：393-397，1992年十二月 http://dx.doi.org/10.1016/0885-064X(92)90003-T

— 伊藤刚
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你打败我了！实际上，您对BQP与NP的看法是正确的。似乎有合理的证据表明PH中不包含BQP（例如，参见arxiv.org/abs/0910.4698），尽管我认为第二位使用的广义Linial-Nisan猜想此后被证明是不正确的。

— Joe Fitzsimons 2010年

@turkistany：如果我没记错的话，P = NP表示P = BPP，因为PH中包含BPP，如果P = NP，则P = PH。

— Niel de Beaudrap 2010年

顺便说一句：（FP =＃P）⇔（P = PP）+1，即使将答案的其余内容放在一边。

— Niel de Beaudrap

@乔：鉴于另一个问题的答案，我认为没有实际证明P = NP≠BQP的“ P = NP并不意味着P = BQP”的最佳证据可能是预言分离结果：“存在当然，这根本不容易，因为该结果将暗示BQP ^A⊈PH^ A，从而解决了一个大问题。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

@Tsuyoshi：您是否可以仅通过将其与PH一起构成一个新的Oracle，而从PH中不包含BQP的任何Oracle中构造这样的Oracle？

— Joe Fitzsimons 2010年

在图形模型中，许多估计问题都是#P完全的，因为它们涉及对总图进行永久性的总和积计算。如果#P = FP，那么图形模型突然变得容易多了，而且我们不再需要低带宽模型。

— 苏雷什·文卡特（Suresh Venkat）
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Toda证明了多项式时间层次结构中的任何问题都可以简化为#P函数。他正式证明了。因此，如果则将崩溃，因此重言式将具有简短的证明。 $PH \subseteq P^{\#P}$ $\sharp P=FP$ $PH$

— 穆罕默德·图尔克斯坦尼
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有人可以澄清一下：这与说“ P = PH”（从P = NP紧随其后）不同吗？

— Niel de Beaudrap 2010年

@Niel：不一样，它更强大。

— Giorgio Camerani

@沃尔特：用什么方式？是不是？如果是这样，则意味着。

P^{FP} = P

$\text P^{\text{FP}} = \text P$

# P = FP

$\#\text P = \text{FP}$

PH \subseteq P^{# P} = P^{FP} = P \subseteq PH

$\text{PH} \subseteq \text P^{\#\text P} = \text P^{\text{FP}} = \text P \subseteq \text{PH}$

— Niel de Beaudrap 2010年

@全部：只是为了澄清---我在上面的第一句话是问以下问题“土耳其斯坦的答案是否等同于FP =＃P暗示P = PH的说法？” 如果我想知道FP =＃P是否等于P = PH，我会在原始帖子的评论中问这个，而不是在突厥斯坦的回答中问。

— Niel de Beaudrap 2010年

@Niel：你是对的。这与从P = NP得出的P = PH相同。因此，不必使用Toda定理，因为FP = #P已经暗示P = NP = PH。

— 罗宾·科塔里