指数函数的复杂度

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我们知道在自然数上的指数函数在多项式时间内是不可计算的，因为输出的大小不是多项式地限制在输入的大小上。 $\exp(x,y) = x^y$

这是难于计算指数函数的主要原因，还是与本考虑无关的固有地难于计算指数？

指数函数的位图的复杂度是多少？
${⟨ x, y, i ⟩ ∣ x, y, i \in N and the i -th bit of x^{y} is 1}$ $\{\langle x,y,i \rangle \mid x,y,i\in\mathbb{N} \text{ and the $i$-th bit of $x^y$ is $1$} \}$

cc.complexity-theory nt.number-theory

— 彼得
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我将概念“ EXP”更改为“ L”，因为EXP是著名的复杂性类的名称，并可能导致混乱。

— MS Dousti

如果

限制为2的幂，则

为

。还的曲线求幂

具有低复杂度。

x

$x$

L

$L$

A C^{0}

$AC^0$

Γ e x p = {(x, y, z) : x^{y} = z}

$\Gamma exp=\{(x,y,z) : x^y=z\}$

— 卡韦

3

萨迪克：如果你想避免复杂的类，L是没有办法比EXP好......把它改为十

— 彼得

@Peter：在上下文中，L肯定是“语言”而不是Log-space复杂度类。无论如何，X是一个更好的选择。

— MS Dousti

@Kaveh：这个问题表明它是关于自然数的指数函数。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

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这是一些上限。

通过反复平方，问题出在PSPACE中。

有一个更好的上限。问题是BitSLP问题的一种特殊情况：给定的直线程序选自0和1与加法，减法和乘法开始表示整数Ñ，并给予我 ∈ℕ，决定是否我个位（从计数N的二进制表示形式的最低有效位是1。BitSLP问题在计数层次结构（CH）[ABKM09]中。（在[ABKM09]中指出，可以证明Bit PPLP问题在PH ^{PP ^{PP ^{PP ^PP中}}}。）

CH的成员资格通常被认为是问题不太可能是PSPACE的证据，因为等式CH = PSPACE意味着计数层次结构崩溃。但是，我不知道该证据被认为有多强。

至于硬度，在同一张纸[ABKM09]中，BitSLP显示为#P硬。但是，那里的证明似乎并不暗示问题中语言X的硬度。

参考文献

[ABKM09]埃里克·艾伦德（Eric Allender），彼得·比尔吉瑟（PeterBürgisser），约翰·凯德盖德·佩德森（Johan Kjeldgaard-Pedersen）和彼得·布洛·米尔特森（Peter Bro Miltersen）。关于数值分析的复杂性。 SIAM Journal on Computing，38（5）：1987–2006，2009年1月。http ://dx.doi.org/10.1137/070697926

— 伊藤刚
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不是完整的答案，但至少是部分答案。

$O(n^{1+\omega})$ $x^y ~\mbox{mod }z$ $n$ $z$ $\omega$ $O(n^3)$

$c_1 = x$ $c_2 = x^2 ~\mbox{mod }z$ $c_j = c_{j-1}^2 ~\mbox{mod }z$ $c_j = x^{2^j}~\mbox{mod }z$ $x^y \equiv \prod_j c_j^{y_j}~\mbox{mod }z$ $n$ $c_j$ $n$ 乘法。

$x^y$ $(\sum_{i=0}^n 2^i x_i)^y$ $2^{ny}$ $x$

$x^y$

— 乔·菲茨西蒙斯
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1

这个答案和我的有一个有趣的关系。如果我没有记错的话，我在答案中引用的[ABKM09 ] 中的算法的粗略概述是将该思想与中国余数定理结合起来以获得更高的比特。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

啊，我还没意识到。

— Joe Fitzsimons 2010年

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[此答案解释了有关Per Vognsen答案的一些有趣方面。它不是对OP的问题的直接答案，但可能有助于解决此类问题。]

$i$ $\pi$ $i-1$

$i$ $\pi$ $\rm SC$

$\rm SC$

— 道斯蒂女士
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