素数计数功能#P是否完成？

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召回 $\pi(n)$ 的素数的数量 $\le n$ 是质数计算函数。通过“ P中的PRIMES”计算 $\pi(n)$ 在#P中。问题#P是否完成？或者，也许有一个复杂的原因认为此问题不是#P完全的？

PS：我意识到这有点天真，因为必须有人研究了这个问题并证明/反对/猜想了这一点，但是我似乎无法在文献中找到答案。看到如果您好奇我为什么在这里，此处。

cc.complexity-theory counting-complexity nt.number-theory comp-number-theory primes

— 伊格·帕克（Igor Pak）
source

5

@MohsenGhorbani：不，不是“相同”的问题。没有相似之处。

— Igor Pak

4

没有证据支持，只是出于好奇：我们是否知道一个真正将n视为数字的#P完全函数

？也就是说，我们始终可以查看n的二进制表示形式并将该二进制字符串视为SAT公式或图形，但是我想避免这种情况。

f (n)

$f(n)$

— 约书亚·格罗夫

3

@JoshuaGrochow我知道一个参数的“自然”（非NT）困难问题都在＃EXP-c中。此类问题的一个示例：带有固定

组图块（即，图块不在输入中）的

平方的图块数。THM：存在

ST这个问题是＃EXP-C。

n \times n

$n \times n$

T

$T$

T

$T$

— 伊格·帕克

1

@Joshua这是相当有关的NP完全性

，为此，显然，我们还没有一个明确的答案了：cstheory.stackexchange.com/questions/14124/...

f (n)

$f(n)$

— domotorp

2

注意，

，因此自Miller–Rabin以来，

在#P中。

# P^{B P P} = # P

$\mathrm{\#P^{BPP}=\#P}$

π

$\pi$

— EmilJeřábek

Answers:

2

一些启发式证据：据我们所知， $\pi(n)$ 看起来像是一个由随机波动校正的简单函数。因此，我期望聚时间机具有 $\pi(n)$ 预言为不大于这样的机器更强与随机预言，和WRT一个随机预言 $X$ 添加单独的随机预言 $Y$ 到 $\mathsf{P}$ 给出 $\#\mathsf{P}^X \not\subset \mathsf{P}^{XY}$ 的概率为1（这里 $Y$ 对应于 $\pi(n)$ ， $X$ 是独立的随机预言）。

— 杰弗里·欧文
source

4

我发现最后一句话有误导性。虽然确实

，我们实际需要的就是

，我们不知道这是不是真的。事实上，这相当于

。

\underset{X}{Pr} [{P P}^{X} \neq P^{X}] = 1

$\Pr_X[\mathrm{PP}^X\ne\mathrm{P}^X]=1$

\underset{X}{Pr} [P P ⊈ P^{X}] = 1

$\Pr_X[\mathrm{PP}\nsubseteq\mathrm{P}^X]=1$

P P \neq B P P

$\mathrm{PP\ne BPP}$

— EmilJeřábek

1

@EmilJeřábek：当然可以，但是就

不是#P完全的证据而言，如果可以正式表明如果它是#P 完全则PP = BPP，那么我认为这是反对＃P-completeness ...

π (n)

$\pi(n)$

— Joshua Grochow

3

@JoshuaGrochow我同意这一点。我只是认为随机预言在

上的结果不相关。

P^{X} \neq {P P}^{X}

$\mathrm P^X\ne\mathrm{PP}^X$

— EmilJeřábek

1

@EmilJeřábek：是的，这很不错。在我进行编辑之前，您是否接受以下事实作为证据：

aa给定了两个随机预言，我想我们知道吗？

P^{X Y} \neq # P^{X}

$P^{XY} \ne \#P^X$

— Geoffrey Irving

1

我们知道吗

— EmilJeřábek

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