NP完全自然的自然问题是否存在？

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任何自然数都可以视为位序列，因此输入自然数与输入0-1序列相同，因此自然输入中存在NP完全问题。但是，是否存在任何自然问题，即不使用数字的某些编码和特殊解释的问题？例如“是素数吗？” 是一个自然的问题，但这是P中的问题。或者“谁以3、5，n，n的堆赢得了Nim游戏？” 是另一个我认为很自然的问题，但我们也知道这是P中的问题。我也对其他复杂度类（而不是NP）感兴趣。

更新：正如EmilJeřábek指出的那样，给定来确定是否对自然数有解是NP完全的。这正是我自然想到的，除了这里输入的是三个数字而不是一个数字。 $a,b,c\in \mathbb N,$ $ax^2+by-c=0$

更新2：经过四年多的等待，Dan Brumleve提供了一个“更好”的解决方案-请注意，由于随机减少，该解决方案仍未完成。

— 多摩普
source

1

我知道一个NEXP完全平铺问题，其中输入是整数n，问题是确定是否存在nxn网格的有效平铺。如果您有兴趣，我将寻找论文。

— 罗宾·科塔里

2

@Emil：domotorp的评论是对我的困惑的回应。但这是我的误解，因此我删除了此评论。我认为输入必须是单个自然数，不应编码任何东西。

— 罗宾·科塔里

8

@domotorp：我的意思的NP完全问题是，给定，确定是否有一个解决方案。给定另一个变体是确定是否存在使得。（结果被从dx.doi.org/10.1145/800113.803627。）

a, b, c \in N

$a,b,c\in\mathbb N$

a x^{2} + b y - c = 0

$ax^2+by-c=0$

x, y \in N

$x,y\in\mathbb N$

a, b, c

$a,b,c$

x \leq c

$x\le c$

x^{2} \equiv a (\mod b)

$x^2\equiv a\pmod b$

— 周华健耶扎贝克支持莫妮卡

3

为什么不是这个问题的答案显然是NO？每个NP难题都具有“编码”布尔电路的实例。可以说，这就是NP困难的意思！

— Jeffε

2

@domotorp：另一个好的“自然”候选者可能是找到单个给定数字的最小加法链的问题：从最小加法链数上的问题：“ ...为集合找到最小加法链的问题的个数是NP完全的，这并不意味着有时会声称找到的最小加法链是NP完全的，但是，我们可以轻松推断出找到最小的加法链的问题是NP完整...”

n

$n$

m

$m$

n

$n$

n

$n$

— Marzio De Biasi 2012年

17

此问题与单个整数输入有所不同：

是否在其两个最大素数之间严格存在除数？ $n$

想法是对链接问题的最高答案中描述的子集总和使用相同的随机归约法，但目标范围编码为最大的两个素数，而不是单独给出。该定义看起来很自然，即使它只是变相的配对功能。

这是同一问题的另一个变体，与分区问题的减少类似：

是相差小于不同的两个整数的乘积 $n$ ？ $n^{\frac{1}{4}}$

在这两种归约中，我们通过查找附近的素数并取其乘积来“伪装”一组整数。如果有可能在多项式时间内做到这一点，那么这些问题是NP完全的。

我认为将这些示例与Mahaney定理一起看是很有启发的：如果并且我们可以找到附近的素数，则这些集合并不稀疏。从复杂性理论中获得纯粹的算术陈述是令人满意的（即使它只是推测性的，并且很可能以其他方式容易证明）。 $P \ne NP$

— 丹·布鲁姆利夫
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“如果P≠NP并且我们可以找到附近的素数”是什么意思？

— T ....

1

@ao。，请参阅Peter Shor的答案来描述减少量。它是NP完全问题，我们需要能够找到一个素数

与

时间

。稍后，我将尝试在此说明自己的情况。

p

$p$

| p - n | < n^{a}

$\vert p - n \vert \lt n^a$

O ((\log n)^{k})

$O((\log{n})^k)$

— Dan Brumleve

哪一组不密集？

— T ....

33

基于讨论，我将其重新发布为答案。

由于证明了曼德斯和Adleman，以下问题是NP完全：给定的自然数，确定是否存在一个自然数使得 $a,b,c$ $x\le c$ 。 $x^2\equiv a\pmod b$

这个问题可以被等效地陈述如下：给定的，确定二次是否有一个解决方案。 $b,c\in\mathbb N$ $x^2+by-c=0$ $x,y\in\mathbb N$

（原始论文指出了，但不难发现有人可以将其简化为的情况。） $ax^2+by-c$ $a=1$

— EmilJeřábek支持Monica
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10

这是一个问题，只有一个自然数作为输入。 $\text{NEXP}$

问题是要平铺一个网格，其中包含一组固定的图块，并且在相邻图块和边界上的图块上具有约束。所有这些都是问题说明的一部分。它不是输入的一部分。输入仅是数字。问题是完成了一些切片规则选择，如下所示 $n \times n$ $n$ $\text{NEXP}$

D. Gottesman，S。Irani，“平移不变平铺和哈密顿量问题的量子和古典复杂性”，Proc.Natl.Acad.Sci.USA，87：1593-2877。五十周年计算机科学基金会，95-104（2009），DOI：10.1109 / FOCS.2009.22。也是arXiv：0905.2419。

该问题在arxiv版本的第5页上定义。

此外，他们还定义了一个类似的问题，即 - ，它是的有界误差量子模拟。（的经典有界误差模拟是。） $\text{QMA}_\text{EXP}$ $\text{NEXP}$ $\text{NEXP}$ $\text{MA}_\text{EXP}$

— 罗宾·科塔里（Robin Kothari）
source

3

+1，但很难说数字

是“自然”使用的，因为它是对特定Turing机器的输入进行编码（特别是，当Turing机器接受

，则存在平铺，其中

是潜在输入字符串的枚举中的第

个）。仍然是一个非常有趣的结果。

n

$n$

x

$x$

x

$x$

n

$n$

— mjqxxxx，2012年

我完全同意mjqxxxx。

— domotorp

2

我认为，使用Kolmogorov复杂度的有时间限制的变体之一，可以建立一个仅使用数字的二进制表示形式的问题，并且（我认为）不太可能出现在；非正式地，它是问题“ 是否可压缩？” 的可判定版本： $\mathsf{P}$ $n$

问题：给定，图灵机存在以使得和上的空白磁带输出在小于步骤，其中，是的二进制表示的长度 $n$ $M$ $|M| < l$ $M$ $n$ $l^2$ $l = \lceil \log{n} \rceil$ $n$

这显然是在，因为给定的和，只是模拟为步，如果暂停比较的结果。 $\mathsf{NP}$ $n$ $M$ $M$ $l^2$ $n$

— 马齐奥·德·比亚西（Marzio De Biasi）
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我认为这个问题是完全基于TM的，但是当然不可能划清界线。

— domotorp

为了完善domotorp的评论，我想说它必须在问题描述中完全引用图灵机的概念这一事实将其排除为“关于自然数的自然问题”。（如果我们假设一个关于自然数的自然问题是一种其一般格式将是一致的，例如与费马特研究过的自然问题是一致的，而又不认为数学史太过反事实。）

— Niel de Beaudrap

2

我们关于短Presburger算法的FOCS'17论文是“自然”问题的示例，即NP-c，并且在输入中使用常数 $C$ 的整数，即 $C< 220$ 。它与Manders-Adleman的不同之处在于约束都是不平等的。有关某些背景，请参见Gil Kalai的博客文章。

— 伊格·帕克（Igor Pak）
source

我认为这比Manders-Adleman更自然。是否可以小于

变量和

不等式示例？

5

$5$

10

$10$

— T ....

No, 5 variables is the smallest. 10 - not sure. But you can't really have less than 6...

— Igor Pak

Is there a reason behind

\geq 5

$\geq5$ and

\geq 6

$\geq6$ ? I mean is it proven that all

\leq 4

$\leq4$ and finite number of inequalities is in

P

$P$ (likewise all

\leq 5

$\leq5$ variables and

\leq 5

$\leq5$ inequalities formulation is in

P

$P$ ?)?

— T....

Yes. For fewer variables the problem is in P.

— Igor Pak

2

Yes. It's all in our paper and Danny Nguyen's thesis. math.ucla.edu/~pak/papers/Nguyen-thesis.pdf

— Igor Pak

1

How about the PARTITION problem?

— Kevin A. Wortman
source

3

No, as the input is not a number but a set.

— domotorp

1

So are you asking for problems for which an instance is exactly one natural number? I don't think that's clear in your question, as you ask for "problems with natural inputs" and your example of the Nim game involves four numbers.

— Kevin A. Wortman

I am sorry if I was vague in the formulation of the question.

— domotorp