有关PP中的PH的更多信息？

赫克·贝内特（Huck Bennett）最近提出的一个问题是，PP班级中是否包含PH班级，却得到了一些相互矛盾的答案（似乎都是正确的）。一方面，一些预言结果相反，另一方面，斯科特（Scott）认为答案很可能是肯定的，因为Toda定理表明PH在BP.PP（PP的概率变异体）中，我们通常认为随机化确实可以并没有太大帮助，例如合理的硬度假设意味着PRG可以代替随机化。

现在，对于PP来说，先验性的是，即使一个“完美的” PRG都将暗示完全去随机化，因为自然的去随机化将对所有多项式可能的种子运行PRG输出的原始算法并获得多数表决，这一点尚无定论。。尚不清楚在PP计算中获得多数表决是否可以在PP本身中完成。但是，Fortnow和Reingold的一篇论文显示，PP在真值表归约条件下被关闭（扩展了PP在交叉路口被关闭的令人惊讶的结果），这似乎足以进行多数表决。

那么，这里的问题是什么？Toda，Fortnow-Reingold和所有基于PRG的非随机化似乎都相对化了，因此就意味着对于存在适当PRG的每个预言者，PP中的PH都相对。因此，对于所有PP不包含PH的预言（例如，来自Minski＆Papert，Beigel或Vereshchagin 的预言），PP的PRG不存在。特别是，这意味着对于这些预言机，EXP中没有适当的硬功能（否则将存在类似NW-IW的PRG）。从积极的一面看，这意味着在每个预言结果的某个地方都隐藏了（近似）EXP的（非均匀）PP算法。这很奇怪，因为所有这些oracle结果似乎都依赖于新的PP 下限（用于阈值电路），并且在他们的甲骨文构建机制中很简单，所以我看不到PP皮革的上限在哪里。也许这个上限通常可以显示（非均匀的）PP可以计算（或至少对某些EXP产生偏差）？这样的事情至少不会给EXP的CH模拟吗？

因此，我想我的问题有两个：（1）这种推理链是否有意义？（2）如果是这样，那么有人可以“发现” PP的隐含上限吗？

亚伦·斯特林（Aaron Sterling）编辑：将其撞到首页并添加赏金。这是我最喜欢的问题之一，但仍然没有答案。

— 诺姆
source

确实从AC0中的布尔函数，该函数不能由polylog（N）度阈值门计算。对于每个Oracle我们定义语言（其中是的第个切片的位）。由于，，所有的。第个对角化步骤将选择（对于某些），以使第个PP TM，这是因为

f : {0, 1}^{N} \to {0, 1}

$f:\{0,1\}^N \rightarrow \{ 0,1\}$

A

$A$

L_{A} = {1^{n} | f (A_{n}) = 1}

$L_A= \{1^n | f(A_n)=1\}$

A_{n}

$A_n$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

A

$A$

f \in A C 0

$f \in AC0$

L_{A} \in P H^{A}

$L_A \in PH^A$

A

$A$

t

$t$

A_{n}

$A_n$

n

$n$

t

$t$

1^{n} \in L_{A} ?

$1^n \in L_A?$

f

$f$ 不是polylog（N）阈值（就像PP机器的计算一样）。所以。但也许 ...

L_{A} \notin P P^{A}

$L_A \not\in PP^A$

L_{A} \in P P^{A} | p o l y

$L_A \in PP^A|poly$

— 诺姆（Noam）2010年

因此，要也获得我们需要将许多实例打包为单个长度。通过定义似乎很容易，其中对于一个比特串，表示 -Bits描述是否所有可能长度的。但是，我们需要提高下界，要求的副本不同

L_{A} \notin P P^{A} / p o l y

$L_A \not\in PP^A/poly$

f

$f$

n

$n$

L_{A} = {x | f (A_{x}) = 1}

$L_A = \{ x | f(A_x)=1\}$

n

$n$

x

$x$

A_{x}

$A_x$

2^{n}

$2^n$

x y \in A

$xy \in A$

2^{n}

$2^n$

y

$y$

n

$n$

f

$f$

N

$N$

f

$f$

N

$N$ 即使使用polylog（N）帮助位，也不能通过polylog（N）度阈值门来计算位字符串。因此，这对于任何都是错误的。似乎是一个有趣的上限。

f \in A C 0

$f \in AC0$

— 诺姆

仔细考虑一下，观察到在每个使PH /⊆PP成立的预言下，没有有效的PRG愚弄BP.PP算法，这并不比在使BPP /⊆P的每个预言下都有一个愚蠢的事实感到惊讶。没有有效的PRG会欺骗BPP算法。这是因为按照Toda的定理（相对论），每个使PH /⊆PP的预言家也使BP.PP /⊆PP。但是，也许我错过了重点。–

— slimton 2010年

那是个很好的观点。但是，从直觉上来说，当您创建一个的Oracle时，构造的症结给提供了一些异常能力，因此也暗示了也会具有异常能力，因此使PRG成为不可能。的预言似乎并没有赋予（或任何类别）任何异常的能力，而是限制。但是，我不确定这种区别是否可以以某种方式形式化。

P^{A} \neq B P P^{A}

$P^A \ne BPP^A$

B P P^{A}

$BPP^A$

P^{A} / p o l y

$P^A/poly$

P H^{A} ⊈ P P^{A}

$PH^A \not\subseteq PP^A$

P^{A}

$P^A$

P P^{A}

$PP^A$

— 诺姆

正如我在上面指出的那样：在的构造中，构造的症结是通过例如在以下地方为硬核神谕植入大量证人的方式赋予BPP（因此也赋予P / poly）“非自然”的力量只有随机化才能找到它们。因此，尽管这种能力足以解决“一般性”问题确实很有趣，但至少P / poly的意外能力很明显。另一方面，我看不到任何将PH与PP分开的预言实际上给P / poly或任何其他类带来了不自然的力量。我不确定这种区别是“真实的”。

P \neq B P P

$P \ne BPP$

— 诺姆

通过Klivans和van Melkebeek的工作（相对论），如果E = DTIME（）不具有大小为 PP门的电路，则PH为PP。相反，如果PH不在PP中，则E具有带有PP门的亚指数级电路。这与不使用PP的PH的预言证明给出PP的相对下界这一事实是一致的。没有理由认为这意味着PP的上限，或者没有PP门的电路的强度。 $2^{O(n)}$ $2^{o(n)}$

— 兰斯·福特诺
source

正确。固定。

— Lance Fortnow