什么时候“ X是NP完全”暗示“ #X是#P完全”？

让表示一个（决定）问题，NP，让＃分别表示其计数版本。 $X$ $X$

在什么条件下知道“ X是NP完全” “ #X是#P完全”？ $\implies$

当然，简约还原的存在就是这样的条件之一，但这是显而易见的，也是我所知道的唯一这样的条件。最终目标是表明不需要任何条件。

正式地说，一个应与计数问题＃开始通过函数定义的，然后定义决策问题对输入字符串作为吗？ $X$ $f : \{0,1\}^* \to \mathbb{N}$ $X$ $s$ $f(s) \ne 0$

cc.complexity-theory np-hardness counting-complexity

您是否在寻找“在简化还原条件下X是否为NP完全”？

— 约书亚·格罗肖

@usul：否。如果我们放弃X是NP完全的假设，则二分匹配在P中（因此假设绝对不是简约的NP完全），但其计数版本是＃P-完全。但是，如果我们真的希望X NP完全，那么我就不知道X的问题了：1）X是NP完全的，2）在简化还原下X 不是 NP完全的， 3）#X是#P完全的。但是我还没有真正考虑过。

P \neq N P

$P \neq NP$

— 约书亚·格罗肖

但是，有否定这个问题吗？即X是NP完全的，而#X不是#P完整的？

— Suresh Venkat

@YoshioOkamoto：这证明＃X∈ #P意味着X∈ NP。方向错误，错过了完整性问题。实际上，我们正在研究的是，对于NP中的决策问题（对于任意决策问题或NP完全问题）存在多对一的减少，还需要什么额外的要求。有效地减少#P中的问题（对于任意计数问题或# P-完全问题）。

— Niel de Beaudrap

@ColinMcQuillan可以相反地指出。从计数问题开始，并从中定义一个决策问题，询问输出是否为非零。

— 泰森·威廉姆斯

Answers:

关于这个问题的最新论文似乎是：

Noam Livne，关于NP见证关系的 #P 完整性的注释，信息处理信函，第109卷，第5期，2009年2月15日，第259-261页 http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/ S0020019008003141

这提供了一些充分的条件。

有趣的是，引言指出“迄今为止，所有已知的NP完整集合都有一个定义关系，该关系是#P完整的”，因此对Suresh的评论的答案是“没有已知的例子”。

— 科林·麦奎伦
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在第3.5节的开头，他们提出以下问题：“特别是，对于某些见证方案，是否存在NP完全集不是#P-完全集？”

然后他们在定理3.1中证明：“如果存在某个见证关系R不为#P完全的NP完全集L ，则 “。 $_L$ ${\bf P}$ $\not =$ ${\bf P^{\bf \#P}}$

— Tayfun Pay
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