计算允许完美匹配的诱导子图的计算复杂度

给定一个无向无权图 $G=(V,E)$ 和偶整数，什么是计数顶点集的计算复杂度使得和的子图限制的顶点集承认完美匹配？复杂度#P是否完整？这个问题有参考吗？ $k$ $S\subseteq V$ $|S|=k$ $G$ $S$

请注意，对于常数，问题当然很容易， $k$ 因为这样大小为所有子图 $k$ 都可以在时间。还要注意，问题与计算完美匹配的数量不同。原因是一组允许完美匹配的顶点可能具有多个完美匹配。 ${|V| \choose k}$

解决问题的另一种方法如下。如果匹配与个顶点匹配，则称为匹配。两个匹配数和如果通过匹配的顶点的集合是``顶点设定非不变‘’和是不同的。我们要计算顶点集不变匹配的总数。 $k$ $k$ $M$ $M'$ $M$ $M'$ $k$

cc.complexity-theory co.combinatorics counting-complexity

— 哈
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当

，此类子集的数量为

k = \log n

$k=\log n$

，并检查是否由所述子集引起的曲线图具有使用TUTTE的表征一个完美匹配花费

时间，因此，它是不太可能为它甚至NP完全除非指数时间假设是错误的。因此，有趣的情况是

(\binom{| V |}{\log n}) \leq n^{\log n}

$\binom{|V|}{\log n}\leq n^{\log n}$

O (2^{\log n}) = O (n)

$O(2^{\log n})=O(n)$

，在这种情况下，如果您要查找#P完整性，那么天真的方法将花费

时间。

k = θ (\frac{n}{\log n})

$k=\theta(\frac{n}{\log n})$

2^{O (n)}

$2^{O(n)}$

— Sajin Koroth 2012年

@Sajin Koroth：我不关注您评论中的最后一句话。例如，如果k =√N，天真的方法需要

时间，我不认为这给反对是＃P-完整的任何证据。

2^{n^{Ω (1)}}

$2^{n^{\Omega(1)}}$

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2012年

@TsuyoshiIto：是的，您是正确的。应该是“选择一个

，使幼稚的方法花费

时间”。

k

$k$

O (2^{n})

$O(2^n)$

— Sajin Koroth

@Sajin Koroth：为什么要选择k的值，以使朴素的方法花费

时间？这样做可能不会造成伤害，但是我不明白为什么要这样做。

O (2^{n})

$O(2^n)$

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2012年

似乎大多数问题都是“人如何诱导大小为k的子图具有属性X？” 很难。即使属性“具有边缘”也很难（“具有边缘”解决“没有边缘”，决斗中“是完整的图形”……解决MAX CLIQUE）。这确实使人感到“具有完美的匹配”也很难，但是现在很难找到证明。

— 2012年

Answers:

问题是＃P-complete。摘自以下论文第2页的最后一段：

CJ Colbourn，JS Provan和D.Vertigan，在横向拟阵上计算Tutte多项式的复杂性，Combinatorica 15（1995），否。1，1-10。

http://www.springerlink.com/content/wk55t6873054232q/

— 哈
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该问题承认有FPTRAS。这是一个随机算法那获得的曲线图，参数，和有理数和作为输入。如果是数量你正在寻找-点集，则输出数，使得 $\mathbb{A}$ $G$ $k\in \mathbb{N}$ $\epsilon >0$ $\delta \in (0,1)$ $z$ $k$ $\mathbb{A}$ $z'$ 和它在时间这样做，其中是一些可计算函数和是一些多项式。

P （ ž^{'} \in [（ 1个 - ϵ ） ž ， （ 1个 + ϵ ） ž] ） \geq 1个 - δ ，

$\begin{equation} \mathbb{P}(z' \in [(1-\epsilon)z,(1+\epsilon)z]) \geq 1-\delta, \end{equation}$

f (k) \cdot g (n, ϵ^{- 1}, \log δ^{- 1})

$f(k)\cdot g(n,\epsilon^{-1},\log \delta^{-1})$

f

$f$

g

$g$

这是从Thm开始的。3.1 （Jerrum，米克斯13）：给定一个属性曲线图中，有一个FPTRAS，与相同的输入如上述，近似于集的大小条件是是可计算，单调，和所有其边缘的最小图形的有界树宽。如果是允许完全匹配的图属性，则所有这三个条件都成立。 $\Phi$

{小号 \subseteq V （ G ） ∣ | 小号 | = ķ \land Φ （ G [小号] ）} ，

$\begin{equation} \{S \subseteq V(G) \mid |S| =k \wedge \Phi(G[S])\}, \end{equation}$

Φ

$\Phi$

Φ

$\Phi$

— 拉图库蒂卡皮安
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