硬计数版本容易出现问题

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维基百科提供了一些问题的示例，其中计数版本比较难，而决策版本比较容易。其中一些正在计算完美匹配，计算出 -SAT的解数和拓扑排序的数。 $2$

还有其他重要的类别吗（例如格子，树木，数论等的例子）？是否存在此类问题的纲要？

中有许多类型的问题具有硬计数版本。 $P$ $\#P$

中是否存在一个比一般的二分法完全匹配更完全理解或更简单的自然问题的版本（请提供有关为什么更简单的详细信息，例如可证明地处于层次结构的最低级别等）（例如数论，晶格）或至少对于特定的简单二部图，其计数版本为 -hard？ $P$ $NC$ $\#P$

来自点阵，多边形，点计数，数论的示例将不胜感激。

— T ....
source

1

大概您想要自然的问题，因为[通过从#SAT进行归约，在[将答案乘以非零数的归约项下的归约化]下的＃P-hard具有HP-hard决策问题]和[通过身份函数{x：在下一个最严格的归约类型下，x是1+（number_of_variables_（

ϕ

$\phi$ ））个1或[一个零，然后对

进行令人满意的赋值

ϕ

$\phi$ ]}是＃P-hard的，但其决策版本是微不足道的。

@RickyDemer您的文字简洁。是的，我想要自然问题。

— T ....

我们真的不完全了解二部图中的完美匹配吗？此外，还有一个用于该问题的RNC2算法。

— Sasho Nikolov

1

是的，我们没有。我们没有确定性的

N C

$NC$ 算法。

— T ....

8

这是一个真正优秀的例子（我可能有偏见）。

给定部分有序集：
a）它是否具有线性扩展（即，总阶与部分阶兼容）？琐碎：所有姿势都有至少一个线性扩展
b）它有几个？＃P-complete来确定这一点（Brightwell和Winkler，线性扩展计数，Order，1991）
c）我们可以快速生成它们吗？是的，以固定的摊销时间（Pruesse和Ruskey，快速生成线性扩展，SIAM J Comp 1994）

— 加拉·普鲁塞斯（Gara Pruesse）
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3

+1：我同意这是一个非常出色的示例（正在考虑将其自己发布，然后看到此答案）。此外，免得有人说“什么决定，如果有至少一个其他的线性延伸”，这个问题也完全微不足道的：总订单有1个扩展名，其他所有偏序集都> 1，并检测恰好2个扩展也很容易（这如果仅存在一对不可比的元素，则会发生这种情况。实际上，存在一个完整的花样分类，最多包含7个线性扩展（请参见Hanamura-Iwata，IPL 2011）。

— 约书亚·格罗夫

这确实是一个很好的例子。但是，享受相同类型的属性存在一个“更简单”的问题（就这些属性而言，证明它们几乎是微不足道的意思更简单）。计算DNF的满意分配数量：a）每个非空DNF都可满足b）计数为#P完全（减少为#SAT）c）可以用多项式延迟（可能是固定的摊销时间，具有考虑一下）

— Holf

我非常想知道是否可以在恒定摊销时间（CAT）中生成满足DNF要求的分配。当时和我在1994年与Frank共同撰写的论文中，线性扩展是第一个“自然定义的”对象，对其进行计数很困难，并且在摊销后（即CAT），生成的速度尽可能快。DNF解决方案似乎也可能是这种解决方案。有人参考吗？

— Gara Pruesse '16

@GaraPruesse我没有相关的引用。对于单调DNF，它等效于枚举超图的命中集，村上敬介和Takeaki Uno的“对大型超图双重化的高效算法”中提出了一些改善延迟的技术。 id = 2611867。我们应该检查它是否提供CAT。对于DNF，我的直觉是，如果有一个小条款，那么您已经有足够的解决方案来进行暴力破解。否则，您只有大的子句，然后这些子句更可能发生冲突，并且可以用于设计CAT算法。

— Holf

17

数论中一个有趣的例子是将正整数表示为四个平方的和。这可以在随机多项式时间内相对轻松地完成（请参阅我在1986年与Rabin一起在https://dx.doi.org/10.1002%2Fcpa.3160390713上发表的文章），如果我没记错的话，现在甚至可以找到确定性的多项式时间解。但是，这种计数表示的数量将允许您计算加总除数函数，这是随机的等同于保多项式时间。因此，计数问题可能很难。 $\sigma(n)$ $n$

— 杰弗里·萨利特（Jeffrey Shallit）
source

“所以计数问题可能很难”你的意思大概

难？你有证据吗？

# P

$\#P$

— T ....

“可能很难”是指它等于整数因式分解的随机多项式时间。

— Jeffrey Shallit '16

3

因此，为了明确起见：问题不是 #P困难的（除非所有地狱都破灭了）。

— EmilJeřábek

@JeffreyShallit是否有

的例子吗？

# P

$\#P$

— T ....

我认为有以下是一个更简单的例子：“确实

有一个适当的除数大于

”与“有多少合适的除数大于

并

有吗？”。决策版本等效于“

是复合”，因此它在

，但是计数版本看起来并不比分解容易。

n

$n$

1

$1$

1

$1$

n

$n$

n

$n$

P

$P$

— Dan Brumleve

17

图论中一个很好的简单例子就是计算无向图中的Eularian回路数。

决策版本很容易（...并且柯尼斯堡七桥问题没有解决方案:-)

计数版本为＃P-hard：Graham R. Brightwell，Peter Winkler：计数欧拉回路为＃P-Complete。ALENEX / ANALCO 2005：259-262

— 马齐奥·德·比亚西（Marzio De Biasi）
source

该论文的“我们的做法是表明，与欧拉计数电路神谕的帮助下，图灵机......和”我们希望计算数目

欧拉取向

”“段落中断”“我们为任何奇数素数

构造一个图形

其球体数量等于

模

。”和“我们对之间的每个素数p重复此过程

和

，其中

，并且...“肯定表明它们只给出了平行的约简，甚至没有

N

$N$

G

$G$

p

$p$

G_{p}

$G_p$

N

$N$

p

$p$

m

$m$

m^{2}

$m^2$

| E | = m

$|E| = m$

-query降低。

m^{ϵ}

$m^{\epsilon}$

@MarzioDeBiasi是NC中的欧拉回路决策吗？

— T ....

1

@AJ。您只需要计算每个节点的度数的奇偶校验并检查它们是否均等即可。似乎肯定在NC中。

— Sasho Nikolov

4

您可以使用

大小公式或深度为

的线性大小电路对

位进行奇偶校验。因此，如果将图作为邻接矩阵给出，请计算每一行的奇偶校验，取反并取与。可以使用线性大小公式对

位进行“与” 运算，因此总的来说，您将获得

大小的布尔公式和深度为

的

大小的布尔电路。

n

$n$

O (n^{2})

$O(n^2)$

O (\log n)

$O(\log n)$

n

$n$

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

O (\log n)

$O(\log n)$ （以AND-OR为基础）。因此，问题实际上出在

。

{N C}^{1}

$\mathsf{NC}^1$

— Sasho Nikolov

2

实际上，问题出在

。

{A C}^{0} [2]

$\mathrm{AC}^0[2]$

— EmilJeřábek在2013年

6

关于第二个问题，诸如Monotone-2-SAT（决定最多有2个正文字按子句的CNF公式的可满足性）之类的问题完全是微不足道的（您只需要检查公式是否为空）即可。计数问题是＃P-hard。甚至很难估计该公式的令人满意的赋值的数量（请参阅关于近似推理的难度，Dan Roth，人工智能，1996年）。

— 霍尔夫
source

5

摘自[Kayal，CCC 2009]：在某个时候明确评估an灭多项式

摘自摘要：``这是唯一自然的计算问题，可以有效地确定对象的存在（在我们的情况下为an灭多项式），但是对象的实际计算证明是困难的。''

让是一个字段和是的多度变量多项式的集合一个 -annihilating多项式为任意（非平凡） ST $\mathbb{F}$ $\vec{f} = (f_1, ..., f_k)\in\mathbb{F}[x_1, ..., x_n]$ $k$ $d$ $n$ $\mathbb{F}.$ $\vec{f}$ $A$ $A(f_1, ..., f_k) = 0.$

决定是容易的： 在任何字段，以及用于任何多项式 -如果有这样消减用于。（（通过维数自变量。）） $k$ $(f_1, ..., f_k)$ $k \ge n+1,$ $A$ $(f_1, ..., f_k)$

计数是硬：定义消灭-EVAL作为评估对某点毁灭性多项式的功能上的问题：给定一个素数和一组具有最小单胞菌消减 $p,$ $(f_1, ..., f_k)\in\mathbb{Z}[x_1, ..., x_n]$ 输出整数 $A(t_1, ..., t_k)\in\mathbb{Z}[t_1, ..., t_k],$ $A(0, ..., 0)\bmod{p}.$

ANNIHILATING-EVAL为硬。此外，所述消减多项式不具有小的电路表示，除非崩溃。 $\#\mathsf{P}$ $A(t_1, ..., t_k)$ $\mathsf{PH}$

— 丹尼尔·阿蓬
source

1

就像Marzio的例子一样，该纸的权利要求15.2的证明似乎表明，它们仅在平行减小时显示出硬度，甚至在

减小时也显示出硬度。

-query减少。

m^{ϵ}

$m^{\hspace{.02 in}\epsilon}$

1

我能找到的所有资源似乎在定义上都不一致。让AE成为您的答案讨论的问题。（...续）

1

（待续...）我没有试过摸出他们使用更多的恰恰是基类，但会如果他们的结果比#P更好地颇为惊讶=

(

$\big(\hspace{-0.07 in}$ DLOGTIME均匀TC

^{0}

$^0$

)

$\hspace{-0.06 in}\big)$

^{| |}

$^{\hspace{-0.06 in}||\hspace{-0.06 in}}$

^{AE}

$^{\text{AE}}$

^{[\sqrt{n}]}

$^{\hspace{-0.05 in}[\sqrt{n}]}$ 。（...续）

1

（待续......）至于我可以看到，它并没有遵循LWPP

MP

\subseteq

$\subseteq$

^{AE}

$^{\text{AE}}$

^{[\sqrt[3]{n}]}

$^{[\sqrt[3]{n}]}$

/

$\hspace{-0.06 in}\big/\hspace{-0.04 in}$ 聚。

1

k

$k$

n

$n$

m a x d e g f_{i}

$max deg f_i$

{N P}^{# P}

$\mathsf{NP}^{\mathsf{\# P}}$