硬度相变的例子

假设我们有一个用实值参数p参数化的问题，对于某些值p 0，p 1，当时“容易”解决，而当p = p 1时“难” 解决。$p=p_0$$p=p_1$$p_0$$p_1$

一个示例是计算图形上的旋转配置。计数加权的正确着色，独立集合，欧拉子图分别对应于硬核，Potts和Ising模型的分区函数，对于“高温”来说很容易近似，对于“低温”来说很难。对于简单的MCMC，硬度相变对应于混合时间从多项式跃迁到指数的点（Martineli，2006）。

另一个例子是概率模型的推论。我们通过采取“简化”给定的模型，p它结合了“所有的变量是独立的”模型。对于p = 1，这个问题微不足道；对于p = 0，这是棘手的，而硬度阈值介于两者之间。对于最流行的推理方法，当该方法无法收敛时，问题将变得棘手，并且问题发生的时间点对应于某个吉布斯分布的相变（从物理意义上来说）（Tatikonda，2002）。$1-p$$p$$p=1$$p=0$

当某些连续参数发生变化时，硬度“跳跃”的其他有趣示例是什么？

动机：查看除图形类型或逻辑类型以外的另一种硬度“维”的示例

在标准最坏情况下的逼近中，随着逼近因子的变化，存在许多尖锐的阈值。

例如，对于3LIN，每个3个变量都满足许多给定的布尔线性方程组，对于近似值1/2，有一个简单的随机赋值近似算法，但是任何优于某些t = 1/2 + o（1）的近似值都已经存在与精确的SAT一样硬（推测需要指数时间）。

我不确定这是否是您要寻找的问题类型，但是NP-完全问题的相变是（到目前为止）一种众所周知的现象。有关该主题的一些热门文章，请参见Brian Hayes的有关3-SAT相变的文章“无法获得满意”和有关Number Partition相变的“最简单的难题”。

塞尔曼（Selman）和柯克帕特里克（Kirkpatrick）首先用数字显示3-SAT的相变发生在子句与变量的比率约为4.3的时候。

Gent和Walsh首先用数字表明，当位与列表长度之比约为1时，发生了数字分配问题的相变。后来，Borgs，Chayes和Pittel进行了分析证明。

除其他外，旅行推销员，图着色，汉密尔顿周期也似乎具有相变，用于问题实例创建的适当参数化。我认为可以肯定地说，所有NP-Complete问题都表现出相变以进行适当的参数化，这是一个普遍的信念。

与用于量子计算的（某些）噪声模型相关联的是噪声级别的阈值，在该阈值之上，可以通过Clifford门对噪声门进行仿真，从而使量子计算过程变得可高效地进行仿真。首先，请参阅Plenio和Virmani，基于嘈杂的基于 Cliord的量子计算机的容错阈值的上限（arXiv：0810.4340v1）。

这样的可解决模型为我们解决了一个普遍存在的实际问题：对于与热库（可能在零温度下）接触的特定物理量子系统，与该热库相关联的噪声水平是低于阈值还是高于阈值，从而可以经典进行有效仿真资源？如果是后者，哪种仿真算法是最佳的？

$k$$k$$k$

$f(k)$$k$$f(k)$$2^k$$k$$1 \le f(k) < 2^k$

$k$$n$$k$$f(k)/2^k$

$f(k)$$f(k)+1$

• JanKratochvíl，PetrSavický和Zsolt Tuza，另一种变量的出现使满意度从平凡跃升为NP-Complete，SIAM J. Comput。22（1）203-210，1993 . doi：10.1137 / 0222015

$f(k)$$f(k) = \Theta(2^k/k)$

• 海蒂· 格鲍尔（ Heidi Gebauer），《对邻域猜想的反证明对SAT有影响》，Combinatorica 32（5）573–587，2012。doi：10.1007 / s00493-012-2679-y （预印本）
• Heidi Gebauer，TiborSzabó，GáborTardos，2011年SAT，SODA 的局部引理非常严格。