P和NPC之间的问题

128

分解和图同构是NP中的问题，这些问题在P中也不是完整的。共有此属性的其他一些（足够不同的）自然问题是什么？直接来自拉德纳定理证明的人为例子不算在内。

仅假设某些“合理”假设，这些示例中的任何一个是否可证明是NP中间的？

— Lev Reyzin
source

这里有一个类似的问题可能有用： cstheory.stackexchange.com/questions/52/…–

— Daniel

1

在MO相关的问题，有几个指针专门为NP和共同NP问题，但不知道是位于P：mathoverflow.net/questions/31821/...

— 安德拉斯·萨拉蒙

1

有P与NP完全之间的若干复杂类这是目前被视为有趣：PPAD，问题是UGC当量，NP

\cap

$\cap$ 共同NP，BPP，......如果你问一个大名单，你能不能使它成为社区Wiki？

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）2010年

谢谢。我知道拉德纳定理。我猜我在问“自然问题”。我猜PPAD具有纳什均衡，所以很重要……

— 列夫·雷津

105

这是P和NPC之间问题的一些响应的集合：

保理
同构问题：图同构[除非否则为NPC ]（通过@Jeff Kinne），图自同构，组同构，自同构，环同构和自同构（通过@Joshua Grochow） $\sum_2^p=\prod_2^p$
计算两个二叉树之间的旋转距离或同一平面点集的两个三角剖分之间的翻转距离（通过@David Eppstein）
从距离重建线上点的收费公路问题（通过@Suresh Venkat）
独特游戏猜想引发的问题（通过@Moritz）
离散日志问题和其他与密码假设有关的问题（通过@Joe Fitzsimons）
确定平价游戏的赢家（通过@mashca）
确定谁最有可能赢得随机游戏（通过密苏里州的@Peter Shor）
盒子中的数字问题（通过@Joshua Grochow）
平衡单淘汰赛的议程控制（通过@virgi）
琐碎的琐事（通过@JeffE）
（假设NEXP≠EXP）填充了NEXP的版本- 完整的问题（通过@Joshua Grochow）
TFNP中的问题（通过@Marcos Villagra）
相交单调SAT（通过@AndrásSalamon）
最小电路尺寸问题（通过@Eric Allender）
确定给定的三角三流形是否为3球体（通过@Joe O'Rourke和@Peter Shor）
物体长度恒定的切削问题（通过@Suresh Venkat）
单调自我对偶（通过@Danu）
平面最小二等分（通过@turkistany）
Pigeonhole子集总和（通过@ user834）
平方根和（通过@JeffE）
确定图是否允许优美的标签（通过@Oleksandr Bondarenko）
该间隙版本最近向量在格问题GapCVP （通过@MCH） $(\sqrt{n})$
的线性可分性的问题[已知为 -complete但不NPC]（通过@Oleksandr Bondarenko的） $\gamma$
找到VC维度（通过@Mohammad al Turkistany）
在比赛中找到最低的主导设置（通过@Mohammad al Turkistany）
群集平面度

— Lev Reyzin
source

5

是的，此过程可以作为“正式”答案。

— Suresh Venkat 2010年

12

能够为自己的监视列表添加答案将是很棒的。这肯定是我的。

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）2010年

9

我从列表中删除了Planar MAX 2-SAT，Guibas等人证明它是NP完整的。在（“近似多边形和细分以最小的链路路径” springerlink.com/content/y234m35416w043v1）

— 鲍勃弗雷泽

7

这些示例中的任何一个是否仅假设一些“合理的”假设（即，一个比“这个问题是NP中间的问题”那么简单的假设）可证明是NP中间的？如果是这样，在此列表中提及这一点将很有趣。

— 蒂莫西·周

3

@Timothy Chow：上面的示例假设

是可证明的中间，即，假设

，则证明

问题的填充版本都不是

-由Mahaney也不在

完成，因为这将与

矛盾。

N E X P \neq E X P

$NEXP \neq EXP$

N E X P \neq E X P

$NEXP \neq EXP$

N E X P

$NEXP$

N P

$NP$

P

$P$

N E X P \neq E X P

$NEXP \neq EXP$

— 2011年

45

在本课程中我最喜欢的问题（我将其表述为功能问题，但很容易以标准方式转变为决策问题）：计算两个二叉树之间的旋转距离（等效地，计算两个三叉树之间的翻转距离）凸多边形）。

— 大卫·埃普斯坦
source

1

这是一个整洁的问题：我没有意识到这是个难题。

— Suresh Venkat 2010年

3

是的，我也不知道！对于所有这些问题/答案，我想知道它们是否在Limbo中，因为我们认为它们确实存在，或者它们更像是PRIMES ...

— Lev Reyzin

这个问题及其潜在的中间状态应该是众所周知的。你能参考一下吗？此外，是否有任何结果表明它不像图同构和相关问题那样是NP完全的？

— 约书亚·格罗夫

8

Thurston，Sleator和Tarjan是一个非常漂亮且重要但较旧的参考文献，“旋转距离，三角剖分和双曲几何”，STOC'86和JAMS'88。有关最近明确提到该问题的复杂性的问题，请参见Lucas，“二进制树中旋转距离的改进内核大小”，IPL 2010，dx.doi.org / 10.1016 / j.ipl.2010.04。 022

— 戴维·埃普斯坦

1

有趣。似乎探索旋转空间也是一个活跃的研究领域。“ k进制树的旋转图是哈密顿量”，IPL 2008，dx.doi.org

— 10.1016 /

38

在此列表或MO列表中都未提及的问题是收费公路问题。给定n（n-1）/ 2个数字的多重集，每个数字代表直线上两个点之间的距离，可重构原始点的位置。

请注意，使这一点变得微不足道的是，对于多重集中的给定数字d，您不知道哪对点相隔d个单位。

众所周知，对于任何给定的实例，只有一个多项式解，但不知道如何找到一个解！

— 苏雷什·文卡特（Suresh Venkat）
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谢谢-这是一个好人！让我想起了其他一些“本地化”问题。实际上认为它不在p中吗？

— 列夫·雷津

我不知道收费公路与复杂的已知问题直接相关。但是，因数分解存在“错误的方向”关系，因为收费公路问题可以用适当选择的多项式上的因式分解问题来表述。

— Suresh Venkat 2010年

1

已知这个问题像NP同构图（PH折叠）一样，是NP完全问题的可能性很小吗？

— 约书亚·格罗夫

不是我知道的。尚未对其进行太多研究，这很可惜，因为它是如此自然。

— Suresh Venkat 2010年

2

您在生物信息学中遇到了类似的问题：给定一组可能/希望重叠的，随机创建的字符串子字符串，其长度比单个片段长得多；计算原始字符串。（基因测序）

— 拉斐尔

38

平方根问题的总和：给定两个序列和正整数，是 $a_1, a_2, \dots, a_n$ $b_1, b_2, \dots, b_n$ 小于，等于，或大于 $A := \sum_i \sqrt{a_i}$ ？ $B := \sum_i \sqrt{b_i}$

该问题在实际RAM上有一个琐碎的时间算法-只需计算总和并进行比较即可！-但这并不意味着P中的成员身份。 $O(n)$
有一个明显的有限精度算法，但是尚不清楚精度的多项式位数是否足以满足正确性要求。（有关详细信息，请参见http://maven.smith.edu/~orourke/TOPP/P33.html。）
毕氏定理意味着顶点和整数端点为整数平方根之和的任何多边形曲线的长度。因此，“根和”问题是几个平面计算几何问题所固有的，包括欧几里得最小生成树，欧几里得最短路径，最小权重三角剖分和欧几里得旅行商问题。（由于基本的拟阵结构以及EMST是Delaunay三角剖分的一个事实，因此可以在多项式时间内解决欧几里德MST问题，而无需解决根之和问题。）
这里是一个多项式时间随机算法，由于约翰内斯Blömer，决定两个金额是否相等。但是，如果答案是否定的，则Blömer算法无法确定哪个总和更大。
NP中甚至不知道该问题的决策版本（？）。但是，Blömer算法暗示，如果决策问题是在NP中，那么它也是在共NP中。因此，该问题不太可能是NP完全的。 $A > B$

— 杰夫斯
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3

不错，我喜欢！！

— 张显之

好吧，如果我们只取1000个随机整数（不是太大），那么大约有

种方法将它们分为两组，所以我希望其中两个和在900个或更多位之内（并且在一半之内）总金额的一半）。在另一方面，寻找“最差”两个序列进行比较了这些

的可能性也非常，非常努力。

2^{999}

$2^{999}$

2^{999}

$2^{999}$

— gnasher729

30

以下列出了可能会或可能不会“足够”不同的问题。通过与图同构相同的证明，如果其中任何一个都是NP完全的，则多项式层次结构会崩溃到第二级。我不认为在P中应该使用哪个“应”有广泛的共识。

图自同构（确定图是否具有非平凡的自同构）。简化为图同构，但不知道（不认为？）对GI很困难。
组同构和自同构（组由其乘法表给出）。同样，归结为图同构，但不认为它对GI困难。
环同构和自同构。从某种意义上说，这是所有上述问题的祖父，因为整数分解等效于找到环的非平凡自同构，并且图同构减少为环同构。参见尼娜·萨克塞纳（Netin Saxena），Neeraj Kayal。环态问题的复杂性。计算复杂度15（4）：342-390（2006）。（有趣的是，确定环是否具有非平凡自同构在。） $P$
Bill Gasarch的这篇文章还包含一些其他有关Ramsey理论的问题，这些问题看起来可能是中间的。
根据马哈尼定理，稀疏集不可能是NP完全的。但是，我们也知道，有稀疏集 - 当且仅当不等于。因此，假设，则任何问题的填充版本具有中等复杂性。（这样的一组不能在除非 $NP$ $P$ $NEXP$ $EXP$ $NEXP \neq EXP$ $NEXP$ $P$ $NEXP = EXP$ ，这与我们的假设相矛盾。）存在许多自然的问题。 $NEXP$

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
source

我喜欢最后一个例子。您对此有任何参考吗？

— Marcos Villagra

1

SR Mahaney。NP的稀疏成套：Berman和Hartmanis的猜想解。计算机与系统科学学报25：130-143。1982年。dx.doi.org/10.1016/0022-0000(82)90002-2 NP中的稀疏集-P iff NEXP neq EXP：J. Hartmanis，N. Immerman，V. Sewelson，NP-P中的稀疏集：EXPTIME VS NEXPTIME，《信息与控制》，第65卷，第2-3期，1985年5月-6月，第158-181页。 dx.doi.org/10.1016/S0019-9958(85)80004-8

— Joshua Grochow 2010年

这是一个不错的列表，尽管前三个非常相似:)我也喜欢最后一个示例。

— 列夫·雷津

28

最小电路尺寸问题（MCSP）是我在NP中最喜欢的“自然”问题，它不知道是NP完全的：给定一个m变量布尔函数f的真值表（大小为n = 2 ^ m），并且给定数字s，f是否具有大小为s的电路？如果MCSP很简单，那么就没有加密安全的单向功能。这个问题及其变体为俄罗斯“蛮力”算法的研究提供了很大的动力，从而导致莱文在NP完整性方面的工作。也可以从资源受限的Kolmogorov复杂度的角度来考虑此问题：询问是否可以从简短描述中快速恢复字符串。Ko研究了这个问题的版本。据我所知，Cai和Kabanets首先使用了MCSP这个名字。在我的一些论文中可以找到更多参考文献： http://ftp.cs.rutgers.edu/pub/allender/KT.pdf http://ftp.cs.rutgers.edu/pub/allender/pervasive.reach.pdf

— 埃里克·艾伦德
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24

单调自我对偶

对于任何布尔函数 $f=f(x_1, x_2, ..., x_n)$ ，它的双是 $f^d=\bar{f}(\bar{x_1}, \bar{x_2}, ..., \bar{x_n})$ 。鉴于 $f(x_1, x_2, ..., x_n)$ 用CNF公式表示，我们必须确定 $f=f^d$ 。

此问题存在于co-NP [ $\log^2 n$ ]中，即可以用 $O(\log^2n/ \log\log n)$ 不确定的步骤来确定。因此，它具有准多项式时间算法（ $O(n^{\log n/\log \log n})$ 时间），因此不太可能具有共NP困难性。

不管这个问题是否在P中，仍然是开放的。更多详细信息，请参见Thomas Eiter，Kazuhisa Makino和Georg Gottlob 在2008年发表的论文《单调对偶的计算方面：简要调查》。

— Danu
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23

琐碎的琐事：给定3空间中的闭合多边形链，它是否是未打结的（即，环境同位素到平坦的圆）？

通过法线表面理论中较深的结果，这在NP中是已知的，但是尚无多时算法或NP硬度证明。

— 杰夫斯
source

1

值得一提的是，与许多潜在的NP中间问题一样，已知一个轻微的变体是NP完全的。即，3个流形结属是NP完全的：给定一个三角化3个流形的闭合多边形链且整数为g，该结最多是属的表面的边界吗？（成为小矮人相当于类0。）doi.acm.org.proxy.uchicago.edu/10.1145/509907.510016

— Joshua Grochow 2010年

它也包含在co-AM（Hara，Tani，Yamamoto）中，因此，除非多项式层次结构崩溃，否则不包含在NPC中。

— 彼得·索尔

3

实际上，这仍然是开放的。Tasos Sidiropoulos在Hara-Tani-Yamamoto证明中发现了一个错误。

— 杰夫·埃塞俄比亚

由于该答案先贴的时候，Kuperberg 放置它在

上广义黎曼假设条件，和Lackenby 放置在它unconditonally

。

c o N P

$\mathsf{coNP}$

c o N P

$\mathsf{coNP}$

— Mark S

19

尚不清楚是否有可能在多项式时间内决定玩家1在平价游戏中是否具有获胜策略（从给定的起始位置开始）。但是，该问题包含在NP和co-NP中，甚至存在于UP和co-UP中。

— 马蒂亚斯
source

你能给个参考吗？听起来不错。

— 约书亚·格罗夫

1

贾金斯基（M. Jurdzinski）。确定平价游戏中的获胜者是UP \ cap合作。信息处理快报68（3）：119-124。1998年。至少应该是一个好的起点。

— 马蒂亚斯（Matthias）

最近的论文“具有完善信息的遍历随机均值博弈的抽运算法”也表明，即使是奇偶博弈的一般化也可以在伪多项式时间内解决。特别地，他们表明，当存在恒定数量的“随机节点”时，称为BWR游戏的游戏具有伪多项式时间算法。奇偶校验游戏是没有随机节点的情况。

— Danu 2010年

最近显示，可以在准多项式时间内解决奇偶游戏，例如，请参见此处。

— Thomas Klimpel

18

如果愿意接受近似问题（例如，将Max-Cut近似在0.878范围内），则会有很长的问题列表。我们不知道它是NP硬度还是P（仅假设Uniuqe Games Conjecture才知道NP硬度）。

— 莫里兹
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是的，这是一个愚蠢的评论，我一发布便立即删除。谢谢。:)

— Daniel Apon 2010年

谢谢！但是我想我不是在考虑近似问题，而是在考虑自然问题。

— 列夫·雷津

可以说，这是自然问题，因为它们对应于一组自然技术（在这种情况下为半定编程）可以实现的问题。

— 莫里兹

我猜“自然”是一个模糊的标准……

— 列夫·雷津

18

在单调 CNF公式中，每个子句仅包含正文字或仅包含负文字。在相交的单调CNF公式中，每个肯定子句与每个否定子句都有一些共同点。

决策问题

交叉MONOTONE SAT
输入：交叉单调CNF公式问题：是满足的？ $f$
$f$

有一个算法可追溯到1996年，但未知是在P中。（当然，它可能最终在P中，但这将是一个主要结果。） $n^{o(\log\ n)}$

Thomas Eiter和Georg Gottlob，《逻辑和AI中的超图横向计算及相关问题》，JELIA2002。doi：10.1007 / 3-540-45757-7_53

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）
source

17

给定的3三角流形是3球体吗？来自乔·奥洛克（Joe O'Rourke）。

— Peter Shor
source

17

子集总和（或子集总和相等）的鸽子洞版本。

鉴于：

a_{k} \in Z_{> 0}

$a_k \in \mathbb{Z}_{>0}$

\sum_{k = 0}^{n - 1} a_{k} < 2^{n} - 1

$\sum_{k=0}^{n-1} a_k < 2^n - 1$

根据信鸽原理，必须存在两个不相交的子集这样： $S_1, S_2 \subseteq \{ 1, \dots, n \}$

\sum_{j \in S_{1}} a_{j} = \sum_{k \in S_{2}} a_{k}

$\sum_{j \in S_1} a_j = \sum_{k \in S_2} a_k$

鸽眼子集和问题要求这种解决方案。最初由Bazgan，Santha和Tuza 在“ SUBSET- SUMS 平等问题的有效近似算法”中进行了阐述。

— 834
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16

查找隐藏子组有很多问题。您提到了分解，但也存在离散对数问题以及其他与椭圆曲线有关的问题，等等。

— 乔·菲茨西蒙斯
source

15

这是计算社会选择中的一个问题，这个问题在P中并不为人所知，并且可能是或不是NP完全的。

平衡单淘汰赛的议程控制：

给定：节点上的锦标赛图，节点 $T$ $n=2^k$ $a$

问题：是否存在节点的排列（方括号），以便a是诱导单淘汰赛的获胜者？

给定的置换上的节点和竞赛图上，可以获得一个置换上节点如下。对于每一个，考虑和以及它们之间的弧在；让 $P_k$ $2^k$ $V$ $T$ $V$ $P_{k-1}$ $2^{k-1}$ $i>0$ $P_k[2i-1]$ $P_k[2i]$ $e$ $T$ 如果和否则。也就是说，我们根据匹配节点对，并使用 $P_{k-1}[i]=P_k[2i-1]$ $e=(P_k[2i-1],P_k[2i])$ $P_{k-1}[i]=P_k[2i]$ $P_k$ $T$ 决定哪些节点（获胜者）继续进行下一轮。因此，给定一个的置换，实际上可以如上所述感应地定义回合，直到最后一个置换仅包含一个节点。这在节点上定义了（平衡）单淘汰赛。在所有回合之后剩下的节点是锦标赛的获胜者。 $P_{k-1}$ $2^k$ $k$ $P_{k-1},\ldots,P_0$ $2^k$

平衡单淘汰赛的议程控制（图表制定）：

给定：节点上的锦标赛图，节点 $T$ $n=2^k$ $a$

问题：在根的节点上包含（跨越）二项式树状结构 $T$ $2^k$ $a$ ？

上的一个二项式树状在节点为根节点被递归地定义为上二项式树状在根节点和一个二项式树状在不同的节点为根节点和来自电弧至。（如果 $2^k$ $x$ $a$ $2^{k-1}$ $x$ $2^{k-1}$ $y$ $x$ $y$ $k=0$ ，则二项式树状仅仅是其根。）锦标赛图中的匹配结果信息，比赛图中的二项式树状精确捕获了可以参加的单淘汰赛。

一些参考：

杰罗姆·朗（JérômeLang），玛丽亚·西尔维娅·皮尼（Maria Silvia Pini），弗朗西斯卡·罗西（Francesca Rossi），克里斯汀·布伦特·维纳布尔（Kristen Brent Venable），托比·沃尔什（Toby Walsh）：连续多数投票的优胜者确定。IJCAI 2007：1372-1377。
N. Hazon，PE Dunne，S。Kraus和M. Wooldridge。如何进行选举和比赛装备。COMSOC 2008。
Thuc Vu，Alon Altman，Yoav Shoham。关于淘汰赛的赛程控制问题的复杂性。AAMAS（1）2009：225-232。
V.Vassilevska威廉姆斯。修理比赛。AAAI 2010。

— virgi
source

13

看一看TFNP类。它具有许多处于中间状态的搜索问题。

— 马科斯·维拉格拉
source

我要指出的是，它是类的相关功能问题

。

N P \cap c o N P

$NP\cap coNP$

— Marcos Villagra

12

假定P不等于NP，则诱导子图同构问题具有NP不完全的“左侧限制”。参见Y. Chen，M。Thurley，M。Weyer：《理解诱导子图同构的复杂性》，ICALP，2008年。

— 霍尔格
source

2

尽管这是一个有趣的结果，但是如果您检查论文，它甚至会说中间复杂度的证明与Ladner定理基本相同，除了在选择LHS限制时进行对角化之外。因此，我不知道这是否算作“自然”问题，而不仅仅是Ladner定理的不同编码。

— Joshua Grochow 2010年

还要注意，这些是源和目标限制。目标（右侧）必须采用特殊形式，以增强内射性。

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）2010年

11

平面最小二等分问题的复杂性是一个有趣的开放问题，众所周知它不是 -hard。相反，平面最大对分问题是 -hard。 $NP$ $NP$

最小二等分问题：找到一组节点，将其分成两个相等大小的部分，以使交叉边缘的数量最小化。

Karpinski，最小二等分问题的逼近度：算法挑战

— Mohammad Al-Turkistany
source

您是否对问题定义有参考？

— 列夫·雷津

参考已添加。

— Mohammad Al-Turkistany 2010年

10

具有恒定数量的对象长度的切削问题。有关更多信息，请参见此讨论。

— Suresh Venkat
source

10

在晶格问题最接近矢量的间隙版本如下：给定一个的基础维点阵和向量，这两个情况下，有至多一个在距离晶格向量之间区分从或当每晶格向量从-far ，对于一些固定的间隙参数。 $n$ $v$ $1$ $v$ $\beta$ $v$ $\beta > 1$

$\beta = \sqrt{n}$ $\mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}$ $\beta$ $\beta = n^{o(1/\log \log n)}$ $\mathsf{NP}$

— 妇幼保健
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9

$G = (V,E)$ $f$ $v\in V$ $f(v)$ $e = uv\in E$ $|f(u) − f(v)|$ $f : V\rightarrow \{0, 1, 2,\dots, |E|\}$ $\{1, 2,..., |E|\}$

JA Gallian。图形标签的动态调查。电子学杂志，2009年。
DS Johnson。NP完整性列：正在进行的指南。J.算法，4（1）：87-100，1983年。
DS Johnson。NP完整性列。ACM Transactions on Algorithms，1（1）：160–176，2005年。

— 奥列克桑德·邦达连科（Oleksandr Bondarenko）
source

9

$P$ $NP$ $O(n^{\log n})$ $NP$ $NP$

— 穆罕默德·图尔克斯坦尼
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L O G N P

$\mathsf{LOGNP}$

N P [\log^{2} n]

$\mathsf{NP}[\log^2 n]$

8

$a$ $b$ $a \cdot x+1$ $b$

$\gamma$

Garey和Johnson在其开创性的“计算机与难缠性”中说（第158-159页）：

$\gamma$ $R_M$ $M$
$R_{M} = {⟨ x, y ⟩ : t h e r e i s a s t r i n g z s u c h t h a t o n i n p u t x a n d g u e s s z M h a s o u t p u t y}$ $R_M=\{\langle x,y\rangle:there\ is\ a\ string\ z\ such\ that\ on\ input\ x\ and\ guess\ z\ M\ has\ output\ y\}$
我们说一种语言 $L_1$ $\Sigma_1$ $\gamma$ $L_2$ $\Sigma_2$ $L_1\propto_{\gamma}L_2$ $M$ $x\in\Sigma_1^*$ $y\in\Sigma_2^*$ $\langle x,y\rangle\in R_M$ $\langle x,y\rangle\in R_M$ $x\in L_1$ $y\in L_2$ $M$ $x$ $x$ $x$ $L_2$ $x\in L_1$

— Oleksandr Bondarenko
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γ

$\gamma$

6

$P$ $NP$ $O(n^{\log n})$

— 穆罕默德·图尔克斯坦尼
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5

认为以下问题是NP中间的，即在NP中，但在P或NP中都不完整。

指数多项式根问题（EPRP）

$p(x)$ $\deg(p) \geq 0$ $GF(q)$ $q$ $r$

p (x) = r^{x}

$p(x) = r^x$

p (x) - r^{x}

$p(x) - r^x$

r^{x}

$r^x$

r

$r$ 。

$\deg(p)=0$

有关其他详细信息，请参阅我的问题和相关讨论。

— Massimo Cafaro
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4

我不知道Thinh D. Nguyen的答案中提出的加权超图同构问题是否可以简单地证明是GI完整的。但是，存在与GI紧密相关的GI难题，即字符串同构问题（也称为颜色同构问题），尚未被简化为GI 。这实际上是拉兹洛·巴拜（LaszlóBabai）在准多项式时间内显示的问题。它具有独立的意义，因为它等效于（置换）群论中的许多决策问题：

— 托马斯·克里姆佩尔
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3

未知是在FP中还是对NP困难的问题是，当保证Steiner顶点落在以120°角相交的两个直线段上时，找到最小的Steiner树的问题。如果线段之间的角度小于120°，则问题是NP困难。据推测，当角度大于120°时，问题就出在FP上。

因此，以下决策问题目前看来具有中等复杂性：

最小120°-Steiner树
$q$
$q$

当然，这实际上可能是P或NP完全的，但是看来我们将在120°进行有趣的二分法而不是中间问题。（猜想也可能是错误的。）

JH Rubinstein，DA Thomas，NC Wormald，约束于曲线末端的Steiner树，SIAM J.离散数学。10（1）1-17，1997 . doi：10.1137 / S0895480192241190

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）
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2

$G_1$ $G_2$ $n$ $\pi$ $G_1$ $G_2$ $NP$

— 用户49753
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