能否将P = NP放大到超过P = PH？

在描述复杂性方面，Immerman具有

推论7.23。以下条件是等效的：
1. P = NP。
2.在有限的有序结构上，FO（LFP）= SO。

可以认为这是将P = NP“放大”为（大概）较大复杂度类的等效语句。请注意，SO捕获多项式时间层次结构PH，而FO（LFP）捕获P，因此可以将其视为P = NP且P = PH。

（其中有趣的部分是，对于任何包含NP的CC类，P = NP表示P = PH； P = CC表示P = NP是微不足道的。Immerman简单地指出“如果P = NP则PH = NP” ，大概是因为P = NP可以与PH的oracle定义一起使用，以归纳地表明整个层次结构都崩溃了。）

我的问题是：

这样可以将P = NP放大多少？

特别地，什么是最大的已知类CC'，使得P = NP表示P = CC'，最小的类CC'，使得P = NP意味着CC = NP？这将使P = NP被等效问题CC = CC'代替。P似乎是一个相当强大的类，它似乎为试图将其与NP分离的参数提供了很少的“摆动空间”：该摆动空间可以放大多远？

我当然也会对一个表明P = PH是这种方法的局限性的论点感兴趣。

编辑：注意密切相关的问题为什么P = NP并不暗示P = AP（即P = PSPACE）？这集中于另一个方向，为什么我们没有证明P = PSPACE的证据。卡夫（Kaveh）和彼得·索尔（Peter Shor）的回答认为，固定轮换的次数是关键。另一个相关的问题是一个决策问题，该决策问题在PH中未知，但如果P = NP则在P中会提出候选问题；尽管这些类在某种程度上是人为的（感谢伊藤刚义指出），但那里的答案也可以用来构造该问题的答案。在更一般的设置中，exptime的崩溃和交替限制的图灵机 询问交替层次结构中任何级别的局部崩溃是否会引起多项式时间层次结构中的向上崩溃。

从Russell Impagliazzo的评论中：

$\mathsf{P}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$\mathsf{H}$$L$$\mathsf{H}$$L$$\mathsf{P}^O$$O$$\mathsf{P}^O=\mathsf{NP}^O$$L$$\mathsf{H}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP} \implies L\in\mathsf{P}$$\mathsf{PH} \subseteq \mathsf{H} \subseteq \mathsf{AltTime}(O(\lg\lg n),\mathsf{poly})$$\mathsf{H} \subseteq \mathsf{P}^{\mathsf{mod}_q \mathsf{P}}$$q$$\mathsf{P}^O=\mathsf{NP}^O$$\mathsf{H}$$\mathsf{H}=\mathsf{PH}$

从Lance Fortnow的评论中：

$f(n)$$\mathsf{H}$$\mathsf{AltTime}(f(n),\mathsf{poly})$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$\mathsf{P}=\mathsf{AltTime}(f(n),\mathsf{poly})$$\mathsf{NP}$$\mathsf{L}$

$\mathsf{H}$

• 肯尼斯·雷根（Kenneth W. Regan），“ 复杂度类别的索引集和表示 ”，1999年

$\Sigma^P_k$$k$

$M$$x$$y$$\mathsf{NP}$

$Cook(M, \vec{n}, t)$$M$$s(\vec{n},t) \in \mathsf{poly}$$M$$\vec{n}$$t$

$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$A$$p\in\mathsf{poly}$

$s_i$$i$$s_{i+1} = s\circ p(s_i)$$k$$q(n) = (s \circ p)^k(n)$$n$ 是作为输入给出的TQBF公式的大小。

$k$$q(n) \in \mathsf{poly}$$\mathsf{P}$

$k \in \omega(1)$$q(n)$$n^{2^{O(k)}}$$k = \lg \lg n$$k = \lg n$

$C$

$C$$\mathsf{H}$$\mathsf{H}$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$

$\mathsf{BPP} = \mathsf{PP}$$\mathsf{IP} = \mathsf{PSpace}$

我还发现，只有一种正确的方法可以使问题复杂性类相对化，这会引起很多误解（例如，将相对化视为扩展类对复杂性类的功能操作，相对化是对计算模型的修改，而不是一类函数或语言）。我认为将相对化视为经过修改的（交互式）计算框架更为有用。这样，存在许多使复杂度等级相对化的有用方法（在其有意的意义上）。要从相对化框架中获取有关非相对应设置的任何信息，我们需要某种与非标准分析中的转换原理相似的转换原理。请注意，为类选择某种特定的相对化方法来保留类之间的已知关系并不能给我们带来转移的原则（这是文献中通常用来确定什么是“正确的”类相对化的主要标准）。