TCS中哪些有趣的定理依赖于选择公理？（或者，确定性公理？）

数学家有时会担心选择公理（AC）和决定性公理（AD）。

选择公理：给定任何集合的非空集，有一个函数，给定一组在，返回的成员。 f S C${\cal C}$$f$$S$${\cal C}$$S$

确定性公理：令为一组无限长的位字符串。爱丽丝（Alice）和鲍勃（Bob）玩游戏，其中爱丽丝（Alice）选择第一位，鲍勃（Bob）选择第二位，依此类推，直到构造了无限字符串。如果x \ in S，爱丽丝赢得比赛，如果x \ not \ in S，鲍勃赢得比赛。假设每个S都有一个玩家获胜的策略。（例如，如果S仅由全1字符串组成，则Bob可以有限次数地获胜。）b 1 b 2 x = b 1 b 2$S$$b_1$$b_2$$x = b_1 b_2 \cdots$$x \in S$$x \not \in S$ $S$$S$

已知这两个公理彼此不一致。（考虑一下，或者去这里。）

其他数学家很少或根本不关注这些公理在证明中的使用。它们似乎与理论计算机科学几乎无关，因为我们认为我们主要处理有限的对象。但是，由于TCS将计算决策问题定义为无穷大的位字符串，并且我们将（例如）算法的时间复杂度作为自然值上的渐近函数进行测量，因此始终有可能使用这些公理之一变成一些证据。

在TCS中最引人注目的示例是什么，您知道其中需要这些公理之一吗？（你知道例子吗？）

只是预示了一点，请注意，对角化参数（例如，在所有图灵机的集合上）不是“选择公理”的应用。尽管图灵机定义的语言是一个无限的位字符串，但是每台图灵机都有一个有限的描述，因此我们实际上不需要在这里为无数个无限集选择函数。

（我放置了很多标签，因为我不知道示例将来自何处。）

ZFC中可证明的任何算术陈述在ZF中都是可证明的，因此不需要“选择”公理。“算术”语句是指一阶算术语言的语句，表示只能使用自然数（“对于所有自然数x”或“存在自然数x”）的量词来表述，无需量化自然数集。乍一看，禁止对整数集进行量化似乎很严格；然而，有限的整数组可以“编码”用一个整数，所以没关系量化了有限整数集。

几乎所有对TCS感兴趣的陈述都可以用算术陈述的形式表达，也许有点点儿麻烦，因此不需要选择公理。例如，乍一看就像是对无穷整数集的断言，但可以表述为“对于每一个多项式时间图灵机，都有一个SAT实例出错了”，这是一种算术运算声明。因此，我对Ryan问题的回答是：“我不知道任何事情。”$P\ne NP$

但是，等等，您可能会说，那些证明需要像柯尼希引理或克鲁斯卡尔树定理这样的证明的算术语句呢？这些难道不需要选择公理的弱形式吗？答案是，这完全取决于您如何陈述有问题的结果。例如，如果您以以下形式描述图次要定理：“给定无限组未标记的图，则必须存在两个，使得一个是另一个的次要图，”那么就需要进行一些选择您的无限数据集，选取顶点，子图等。[编辑：我在这里犯了一个错误。正如EmilJeřábek所说，图次要定理（或至少在没有AC的情况下最自然的陈述）在ZF中是可证明的。但是对这个错误取模，我在下面说的仍然是正确的。]但是，如果您改为通过带标签的有限图上的次要关系的自然数写下特定的编码，并将图次要定理用短语表达为有关此特定偏序的语句，则该语句将成为算术运算，并且不需要AC证据。

大多数人认为图次要定理的“组合本质”已经被固定特定编码的版本所捕获，并且如果出现通用组，则需要调用AC来标记所有内容。从理论上讲，该问题与使用集论而不是算术作为逻辑基础的决策无关。如果您有相同的感觉，则图次要定理不需要AC。（另请参阅阿里·埃纳亚特（Ali Enayat）在“数学基础”邮件列表中的帖子，以回应我曾经遇到的类似问题。）

平面的色数的示例类似地是解释的问题。您可能会问各种各样的问题，如果您假设使用交流电，这些问题就等同了，但是如果您不使用交流电，这是截然不同的问题。从TCS的角度来看，问题的组合核心是平面有限子图的可着色性，然后您可以（如果需要）使用紧密度参数（这是AC的作用）来得出结论。整个平面的色数大约是有趣的，但是有些切线的兴趣。因此，我认为这不是一个很好的例子。

我认为最终您可能会更幸运地询问是否有任何TCS问题需要大的基本公理来解决（而不是AC）。哈维·弗里德曼（Harvey Friedman）的工作表明，图论中的某些最终陈述可能需要大的基本公理（或至少这些公理的1一致性）。到目前为止，弗里德曼（Friedman）的例子都是人为的，但是在我们的一生中，看到类似的例子在TCS中“自然地”出现，我不会感到惊讶。

我的理解是，Robertson-Seymour定理的已知证明使用了选择公理（通过Kruskal树定理）。从TCS的角度来看，这非常有趣，因为Robertson-Seymour定理暗示可以在多项式时间内完成任何给定的次要闭合图族的隶属度测试。换句话说，选择公理可以间接用于证明多项式时间算法存在于某些问题，而无需实际构造这些算法。

但是，这可能并不是您真正想要的，因为尚不清楚此处是否实际需要AC。

这与Janne Korhonen给出的答案有关。

在80年代和90年代有大量结果试图描述证明Kruskal树定理（KTT；最初的KTT是1960年）的扩展所需的公理系统（换句话说，算术理论）。特别是，哈维·弗里德曼（Harvey Friedman）在这条线之后证明了一些结果（请参见SG Simpson。有限树的某些组合性质的不可证明性。在LA Harrington等人，哈维·弗里德曼的《数学基础研究》，北荷兰，爱思唯尔，1985年）。 。这些结果表明（某些扩展）KTT必须使用“强”理解公理（即，公理说存在某些高逻辑复杂性集）。我不完全了解ZF在ZF中的可扩展性（没有选择的公理）。

与此结果流并行，尝试通过重写系统将其连接到（“理论B”）TCS 。这个想法是构造重写系统（将其视为一种功能编程或lambda微积分程序），其终止取决于KTT的某些（扩展）（KTT和重写系统终止之间的原始联系已由N证明）。 （Dershowitz（1982））。这意味着要表明某些程序终止一个程序需要强大的公理（因为KTT的扩展需要这样的公理）。对于这种类型的结果，请参见例如A. Weiermann，《克鲁斯卡尔定理的某些有限形式的复杂度界限》，《符号计算杂志》 18（1994），463-488。

所述哈德维格-纳尔逊问题是切向相关并要求的着色的平面所需颜色的最小数目，其中在距离恰好1个点被赋予不同的颜色。存在需要四种颜色的有限子图，并且通过用六边形平铺平面可以构造出七种颜色。${\mathbb R}^2$

在Shelah和Soifer的“选择公理和平面的色数”中，表明如果该平面的所有有限子图都是四色的，则

• 如果假定选择公理，则该平面是四色的。
• 如果您采用从属选择的原则，并且所有集合都是可测量的勒贝格，则平面是五色，六色或七色的。

奥利维尔·芬克尔（Olivier Finkel）的某些作品似乎与该问题有关-尽管不一定明确地与选择公理本身有关-并且与提莫西·周的回答是一致的。例如，引用不完整定理，大红衣主教和有限词自动机的摘要，TAMC 2017，

可以构建在有限字其中一些基本性质实际上是独立于强一套理论等各种自动机，对于整数。 Ñ ≥ $T_n := ZFC + \text{``There exist (at least) $n$ inaccessible cardinals''}$$n \geq 0$

[这不是您问题的直接答案，但对某些人来说可能是暗示性的和/或有益的。]

William Gasarch的P对NP投票给出了一些有关“ P对NP的解决方式”的统计数据：

1. 61以为P≠NP。
2. 9认为P ＝ NP。
3. 4以为是独立的。尽管没有提到任何特定的公理系统，但我认为他们认为它独立于ZFC。
4. 3刚刚声明它不独立于基本递归算法。
5. 1表示将取决于模型。
6. 22没有提出意见。

维基百科对独立性有一个有趣的看法：

...这些障碍也导致一些计算机科学家提出P对NP问题可能独立于ZFC之类的标准公理系统（无法在其中进行证明或证明）。对独立性结果的解释可能是：对于任何NP完全问题都不存在多项式时间算法，并且无法在（例如）ZFC中构造这种证明，或者可能存在用于NP完全问题的多项式时间算法，但是不可能在ZFC中证明这种算法是正确的[ 1]。但是，如果可以证明，使用目前已知的适用技术，即使扩展用于整数算术的Peano公理（PA）的假设要弱得多，也无法确定问题，那么必然会存在- NP中每个问题的多项式时间算法[ 2 ]。因此，如果人们相信（就像大多数复杂性理论家所做的那样），并不是NP中的所有问题都具有有效的算法，那么就可以得出使用这些技术的独立性证明是不可能的。此外，该结果表明，使用当前已知的技术证明与PA或ZFC的独立性并不比证明针对NP中所有问题的有效算法的存在容易。

我对这个问题的印象是，没有给出仅需要PA（更不用说ZF）的问题的合适例子，而Timothy Chow的出色回答解释了为什么这么难找到例子。但是，有一些TCS超出了算术领域的例子，所以我想我给出一个定理，它比严格要求更多。尽管它不需要选择全部公理，但确实需要较弱的版本。$ZF$

图论中的De Bruijin-Erdos定理指出，随着遍历所有有限子图，图的色数是和。请注意，对于有限，结论是微不足道的，因此，这是关于无限图的一个有趣的陈述。这个定理有许多不同的证明，但是我最喜欢的是唤起Tychonov的定理。χ （ħ ）ħ ģ $G$$\chi(H)$$H$$G$$G$

正如我链接的Wikipedia文章中所提到的那样，该定理确实确实比要求更多，但是它并没有要求“选择的全部公理”。在Wikipedia页面上，有一个非常难以理解的证明，但是由于涉及度量理论的巧妙构造，该定理基本上属于Solovay模型。$ZF$