从P到NP-hard的参数化复杂度，然后再返回

我正在寻找的由多个参数化问题的例子$k \in \mathbb{N}$，问题出在哪里的硬度非单调的$k$。大多数问题（在我的经验）具有单一相变，例如$k$ -SAT已经从单一的相变$k \in \{1,2\}$（其中，这个问题是在P）到$k \ge 3$（其中的问题是NP-完成）。我对随着k增大而在两个方向（从容易到困难，反之亦然）都存在相变的问题感兴趣。$k$

我的问题有点类似于“ 计算复杂性中的硬度跳跃”中的问题，实际上，那里的某些回答与我的问题有关。

我知道的示例：

1. $k$平面图的 k可着色性：在P中，除了$k=3$（其中NP完全）。
2. 带有$k$终端的Steiner树：在P中，当$k=2$（塌陷到最短的$s$ - $t$路径）和$k=n$（塌陷到MST）时，但是NP困难在“中间”。我不知道是否这些相变尖锐（例如，P为$k_0$但NP-很难$k_0+1$）。而且，与我的其他示例不同，的转换$k$取决于输入实例的大小。
3. 计算满足模的平面公式的满意分配$n$：在P中，当$n$是梅森素数$n=2^k-1$，对于大多数（？）/ 所有其他值＃P-complete $n$（来自该线程的 Aaron Sterling ） 。许多相变！
4. 诱导子图检测：问题不是由整数参数化，而是由图形参数化。存在图（其中⊆指的是一种子关系的），其用于确定是否ħ 我 ⊆ ģ对于给定的曲线图G ^是在P代表我∈ { 1 ，3 }但NP-对于i = 2完成。（来自张显智的同一线程）。$H_1 \subseteq H_2 \subseteq H_3$$\subseteq$$H_i \subseteq G$$G$$i\in \{1,3\}$$i=2$

属性测试是具有很多非单调问题复杂性的领域。让是集合所有的ñ -点图，并调用P ⊆ g ^ ñ的图形性能。一个通用的问题是要确定一个图是否ģ具有属性P（即G ^ ∈ P）或是由具有属性`远” P在某种意义上。根据P是什么，以及您对图形具有哪种查询访问权限，问题可能会非常棘手。$\mathcal{G}_n$$n$$P \subseteq \mathcal{G}_n$$G$$P$$G \in P$$P$$P$

但它很容易地看到，问题是不单调，因为如果我们有，但事实上，P是容易测试并不意味着要么š是容易测试或牛逼的。 $S \subset P \subset T$$P$$S$$T$

看到这一点，它足以观察到，和P = ∅均为平凡可测试的，但对于一些性质，存在较强的下界。$P = \mathcal{G}_n$$P = \emptyset$

对于给定的图形和整数ķ ≥ 1时，ķ的次方ģ，记ģ ķ，具有相同的顶点设定为使得两个不同的顶点是在相邻ģ ķ如果它们在距离ģ至多ķ。拆分图的第k次幂 问题询问给定图是否是拆分图的第k次幂。$G$$k\ge 1$$k$$G$$G^k$$G^k$$G$$k$$k$$k$

• 对于，该问题可以在线性时间内解决。这是因为识别分割图在线性时间内是可行的（众所周知）。$k=1$
• 对于，问题是NP完全的。这是通过证明Lau和Corneil在确认适当间隔，分割和弦图的权力，SIAM J.离散数学。，18（2004），83-102页。$k=2$
• 对于，问题很简单：仅完全图是ķ分裂图形的第权力。$k\ge 3$$k$

$\Delta$$\Delta=2$3 ⩽ Δ ⩽ $\Delta\geqslant 7$$3\leqslant\Delta\leqslant 6$

相关问题在这里讨论。

确定图是否具有以下优势：$G$

• $diam(G)=1$是微不足道的-答案总是'是'
• $diam(G)=2$是NP完全的
• $diam(G)=3$是NP完全的
• $diam(G)\ge 4$是微不足道的-答案始终是'no'

的情况下是由于Brandstädt和Kratsch，壳体在注意最近一个矿井的纸。d 我一米（g ^ ）= $diam(G)=3$$diam(G)=2$

这是您正在寻找的现象的一个例子吗？

考虑一下k-Clique问题，其中k是我们要搜索的集团的大小。所以问题是“在G个顶点上的图G中是否有大小为k的集团？”

对于所有常数k，问题出在P中。（蛮力算法的运行时间为。）对于较大的k值，例如n / 2之类的值，它是NP完全的。当k非常接近n时（例如nc对于某个常数c），问题再次出在P中，因为我们可以搜索大小为nc的n个顶点的所有子集，并检查它们中的任何一个是否构成集团。（只有这样的子集，当c为常数时，它的多项式很大。）O （n c$O(n^k)$$O(n^c)$

这是您所寻找类型的示例。该参数不是整数，而是一对数字。（尽管可以修复其中之一以使其成为一个参数问题。）

问题在于在坐标（x，y）上评估图G的Tutte多项式。我们可以将坐标限制为整数。问题在于如果（x，y）是点（1，1），（-1，-1），（0，-1），（-1,0）或满足（x-1）之一）（y-1）= 1。否则，它是#P困难的。

我是从Wikipedia关于Tutte多项式的文章中得到的。

$k$$k=2$$2^d$$O(n^{4d-3})$$d \geq 2$$k$$2$

$t$

$t$$t$$G$$H$$G$$x$$y$$x$$y$$H$$t$$G$$t$$t$

甲分裂图表是其顶点组可以被划分为一个集团和一个独立的组的图。

$t \ge 3$$t$

$k$

$k \ne \Delta$$NP$

对于立方图，使用以下方法确定边缘着色的存在：

• $k=2$
• $k=3$$NP$
• $k \ge 4$

伊恩·霍利尔（Ian）（1981），“边缘着色的NP完整性”，SIAM计算期刊10：718–720

http://en.wikipedia.org/wiki/Edge_coloring

$\to$$\to$$\to$$\to \cdots$

$n$$n$$n$$n$

该证明已在本文中宣布。

$k$$k$

$G$$k=1$$G$$\sf NP$$k \in \{2,3\}$$\sf P$$k$

参见Chandran，L.Sunil，Deepak Rajendraprasad和MarekTesař。“拆分图的彩虹着色。” arXiv预印本arXiv：1404.4478（2014）。

$U\subseteq V(G)$$G$$G[U]$$G-U$

确定直径为1的图形是否具有断开的割集是微不足道的。问题变得对直径的曲线图NP-2硬 见本文 ，一图形直径至少3的再次容易看到本文。