诺伯特·布鲁姆（Norbert Blum）在2017年证明

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诺伯特·布鲁姆（Norbert Blum）最近发布了一份长达38页的证明，证明。这是正确的吗？ $P \ne NP$

还有一个话题：在互联网上还有其他地方在讨论其正确性吗？

注意：该问题文本的重点已随着时间而改变。有关详细信息，请参阅问题注释。

cc.complexity-theory np-hardness complexity-classes

— 沃伦·舒迪（Warren Schudy）
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评论不作进一步讨论；此对话已转移至聊天。

— 比昂·乔斯·汉森（BjørnKjos-Hanssen）

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如前所述，Tardos的例子显然驳斥了证明；它提供了一个单调函数，该函数与T0和T1上的CLIQUE一致，但位于P中。如果证明正确，则这是不可能的，因为证明也适用于这种情况。但是，我们可以查明错误吗？在lipton博客上的帖子中，这似乎是证明失败的地方：

单一错误是定理6证明的一个微妙点，即在第31页的步骤1（以及在33，讨论了双重情况）上，这似乎是显而易见的主张，即包含了所有包含在等似乎是错误的。 $C'_g$ $CNF'(g)$

为了更详细地说明这一点，我们需要研究Berg和Ulfberg的证明和逼近方法，该方法用DNF / CNF开关重述了Razborov关于CLIQUE的指数单调复杂度的原始证明。这是我的看法：

对于逻辑电路每个节点/门（仅包含二进制OR / AND门），合取，合取范式以及逼近器和为附上。和只是门输出的相应的析取和合并法线形式。和也是取和取形式，但是在某些其他函数中，“近似”门输出。但是，要求它们在每个单项式中对于具有一定数量的变量 $g$ $\beta$ $CNF(g)$ $DNF(g)$ $C^k_g$ $D^r_g$ $CNF$ $DNF$ $D^r_g$ $C^k_g$ $D^r_g$ （小于常数r），并且在每个子句中为（小于常数k）。 $C^k_g$

这种近似引入了“错误”的概念。如何计算此错误？我们只对总函数取值为0的输入的集合T0和总函数取值为1的输入的T1（“承诺”）感兴趣。现在，在每个门上，我们仅查看来自T0和T1的那些输入，这些输入已正确计算（由和表示，它们代表相同的功能-中的门输出），看看和有多少错误/错误 $DNF(g)$ $CNF(g)$ $g$ $\beta$ $C^k_g$ $D^r_g$ ，相比之下。如果门是合取门，则门输出可能会正确计算来自T0的更多输入（但可能会减少来自T1的正确计算的输入）。对于定义为简单合取的，但是所有这些输入都没有新的错误。现在，被定义为的CNF / DNF开关，因此T0上可能有许多新错误来自此开关。同样在T1上，上没有新的错误-每个错误都必须出现在任一栅极输入上，并且类似地在，开关不会在T1上引入新的错误。或门的分析是双重的。 $C^k_g$ $D^r_g$ $C^k_g$ $C^k_g$ $D^r_g$

因此，最终逼近器的错误数由的门数限制，再乘以CNF / DNF开关（对于T0）或DNF / CNF开关（对于T1）引入的最大可能错误数。但是在至少一种情况下（T0或T1），错误总数必须“较大”，因为这是带有从句所构成的正合取范式的性质，这是Razborov原始证明（Lemma百隆纸上的第5条）。 $\beta$ $k$

那么Blum为了处理否定（被推到输入级别，所以电路仍然只包含二进制OR / AND门）做了什么？ $\beta$

他的想法是仅在所有变量均为正数时，限制性地执行CNF / DNF和DNF / CNF开关。然后，这些开关将完全像Berg和Ulfberg一样工作，并引入相同数量的错误。事实证明，这是唯一需要考虑的情况。

因此，他遵循Berg和Ulfberg的观点，但有一些区别。他没有将，，和到电路每个门，而是附加了他的修改，，和，即他定义为与和不同的“归约”取取 $CNF(g)$ $DNF(g)$ $C^k_g$ $D^r_g$ $g$ $\beta$ $CNF'(g)$ $DNF'(g)$ ${C'}^k_g$ ${D'}^r_g$ $CNF(g)$ $DNF(g)$ 通过“吸收规则”，从所有混合的单项式/子句中删除否定变量（为此，他也使用R表示的操作，完全删除了一些单项式/子句；正如我们之前所讨论的，他对R的某种非正式定义实际上不是问题，R可以做得很精确，因此可以在每个门上应用，但去除的内容不仅取决于前两个输入，还取决于通向该门的整个电路），以及它们的近似值和，他也介绍了。 ${C'}^r_g$ ${D'}^r_g$

他得出结论，在定理5中，对于单调函数，减少的和实际上将在根节点处的集合T1和T0上计算1和0 （其输出是整个函数的输出）。我相信这个定理是正确的。 $CNF'$ $DNF'$ $g_0$ $\beta$

现在是错误计数。我相信每个节点上的错误都应通过将减少的和（现在可能是两个不同的函数）与和如他所定义。当将变量与否定变量混合时，逼近器的定义会和定义（步骤1），但是当他处理正变量时，他会像Berg和Ulfberg一样使用开关（步骤2）。实际上，在第2步中，他将引入与以前相同数量的可能错误（这是同一开关，并且所有涉及的变量均为正）。 $CNF'(g)$ $DNF'(g)$ ${C'}^r_g$ ${D'}^k_g$ $CNF'$ $DNF'$

但是步骤1中的证明是错误的。我认为Blum混淆了和，正如他定义的，它们确实来自先前的近似值（对于门，），以及和。这是有区别的，因此，语句“仍包含在门g近似之前使用或的子句的包含的所有子句”总的来说是错误的。 $\gamma_1$ $\gamma_2$ $h_1$ $h_2$ $CNF'_\beta(h_1)$ $CNF'_\beta(h_2)$ $C_g'$ $CNF'_\beta(g)$ $\gamma_1'$ $\gamma_2'$

— 偶像
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2

在RJL博客rjlipton.wordpress.com/2017/08/17/上似乎也有相同的评论。想添加一个想法：如果关键是考虑所有等于1位的 T0 / T1，请输入cnf-dnf转换/近似值？它是由1982年伯科威茨已知这足以分离P VS NP参见/韦格纳“的切片功能复杂性” sciencedirect.com/science/article/pii/0304397585902099

— VZN

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@vzn该博客评论的作者为“ vloodin”。该答案的作者是“ idolvon”。字母的排列暗示了作者并没有太大的不同。

— Clement C.

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只是好奇，在将论文上传到arxiv之后，百隆是否进行了进一步的公共交流？

— 马特

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@Matt Blum撤回了论文，并在论文的arXiv页上发表了以下评论：“证明是错误的。我将详细说明错误的原因。为此，我需要一些时间。我将解释放在我的身上。主页”

— Gustav Nordh，2017年

斯科特· 亚伦森

— cuniculus

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我熟悉亚历山大·拉兹伯洛夫（Alexander Razborov），他的先前工作非常关键，并且是百隆证明的基础。今天我很幸运能与他见面，并且不花时间在整个问题上征求他的意见，关于他是否看过证据以及他是否对此有何想法。

令我惊讶的是，他回答说他确实知道布鲁姆的论文，但最初并不在意阅读。但是，随着更多的声望，他确实有机会阅读它并立即发现一个缺陷：即伯格和乌尔夫伯格给出的推理完全符合塔多斯的职能，既然如此，布鲁姆的证明必定是是错误的，因为它与论文中定理6的核心矛盾。

— 米哈伊尔
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2

如果您能对此进行详细说明，那将是很棒的。Tardos的功能是否已知为P？

— 托马斯

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Tardos函数在P中，是Lovasz theta函数的近似值，对于图补，该函数在集团数和色数之间。Lovasz theta实函数是图的单调函数。但是，问题是天气这种近似也会导致图形的单调函数（只有单调函数会使证明无效）。有人可以给我们提供对Tardos论文的引用吗？

— idolvon

7

@idolvon您的意思是：cs.cornell.edu/~eva/…它明确声明函数φ是可

— 多次

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谢谢！这基本上解决了它-Bloom的证明一定是错误的。现在，找出一个错误可能很有趣。据教授说，像往常一样，我会对其进行研究并发表评论lipton。p啄木鸟的愿望。

— idolvon

1

@idolvon是的，我也这么认为。Blum的自变量应继承该论文中定义的函数φ，该函数声明单调且可乘以可计算（根据其定义，这是微不足道的）。

— PsySp

41

这是作为社区答案发布的，因为（a）这不是我自己的话，而是社交媒体平台上的Luca Trevisan或其他没有CSTheory.SE帐户的其他人的引用；（b）任何人都应随时使用更新的相关信息进行更新。

从Facebook公开帖子（08/14/2017）引用Luca Trevisan，回答关于Shachar Lovett提出的有关本文的问题：

据称具有超多项式电路复杂性的安德列夫函数（抽象，然后是第7节），只是有限域中的单变量多项式插值，如果我不丢失任何内容，则可以通过高斯消除法求解。

实际上，这不一定是证明失败的地方。在与以下Andrew的评论有关的问题之后，Luca随后回答了以下问题（2017年8月15日）：

没错，伙计们，我误解了Andreev函数的定义：尚不清楚将其简化为多项式插值

卡尔·威默（Karl Wimmer）评论了古斯塔夫·诺德（Gustav Nordh）提出的观点（经卡尔的许可转载）：

除此之外，我不明白为什么从定理5的证明的前两段中可以得出结论，计算。我只看到计算函数使得表示该函数也是1 的一种单面性。 $\mathrm{DNF'}(g_0)$ $f$ $\mathrm{DNF'}(g_0)$ $f = 1$

第三段也无济于事：肯定及其DNF / CNF开关计算相同的函数，但是并不能立即跟随DNF / CNF开关计算（因为可能不会），因此我们无法对子句做出任何结论。 $\mathrm{DNF'}(g_0)$ $f$ $\mathrm{DNF'}(g_0)$ $f$

（此外：这种单面性与上述古斯塔夫的例子是一致的。）

从不同的角度来看，计算单调函数的标准网络肯定可以在内部节点上计算非单调函数。定理5不适用于非单调函数，因此可能无法正确计算网络中输出节点为的子函数（这将在许多非单调函数中发生）。因此，我不相信这种归纳结构最终一定是正确的。 $\mathrm{DNF'}(g)$ $g$ $\mathrm{DNF'}(g_0)$

如果我在这里完全不在基地，请告诉我！

来自匿名用户的回应，对Karl的观点：

DNF'和CNF'只是f的DNF和CNF，其中取消了相反的文字，因此将它们简化为较短的形式。论文中也对此进行了解释，从定义上来看，这有些麻烦，但这就是它的本质。定理5不是问题，定理6是关键。

还有卡尔的答案（我在这里再次转载）：

我明白了阴离子在说什么（谢谢！）；我的评论未能正确解决我的困惑。如果是单调的并且在处计算，则可以取，应用吸收和运算符，得到的表示。使用这种“一次性”构造，定理5很好地适用于定理6。我掩盖了定义。 $f$ $g_0$ $\mathrm{DNF}(g_0)$ $R$ $\mathrm{DNF'}(g_0)$ $f$ $\mathrm{DNF'}(g_0)$

我看不到的是为什么第27-28页的的逐个门施加吸收和即兴构造会做同样的事情。对于定理6中的逐个门分析，这似乎是必需的，除非考虑到此构造的错误。我的意思是，不是每个功能甚至可以通过一个DNF与仅非否定或否定文字来表示，但对于每个节点，似乎总是具有这种形式。如果我的网络中有一个节点使得 $R$ $\mathrm{DNF'}(g_0)$ $g$ $\mathrm{DNF'}(g)$ $g$ 没有这样的表示？ $\mathrm{res}(g)$

（另一个小点（？）：我看不到在按门即用构造中的作用；在1.-4中，似乎已经是标准DNF构造，但是吸收和施加） $R$ $\alpha$ $R$

（答案来自匿名）我同意在第6部分中可能会模糊R的定义。除非明确定义R，否则R的作用不取决于整个DNF（而不是归纳地取决于门上DNF'的值）。，可能有问题。Deolalikar的证明有类似的问题-混淆了两个不同的定义。在这里，至少我们知道什么是DNF'，如果这是第6节中问题的根源，则可以轻松地进行跟踪。不过，我还没有进入第6节，它需要第4节中描述的Berg和Ulfberg的逼近器来理解证明，最终与Razborov从1985年开始的构造有关，这并不容易。

解释R如何工作：

$(x \lor y) \land (\neg x \lor y) \land (x \lor \neg y)$ $(x\lor y) \land (\lnot x \lor y) \land (x \lor \lnot y)$ $((x \lor y) \land (\neg x \lor y)) \land (x \lor \neg y)$ $((x\lor y) \land (\lnot x \lor y))\land (x \lor \lnot y)$ $(x \lor y) \lor ((x \land y) \lor (y \land y))$ $(x\lor y) \lor ((x\land y)\lor (y\land y))$ $x$ $(y) \lor (x \land y) \lor (y),$ $(y) \lor (x\land y)\lor (y),$ $y$ $x$ $((y) \lor (x \land y) \lor (y)) \lor ((x \land y) \lor (x \land y) \lor (x \land y)),$ $((y) \lor (x\land y)\lor (y)) \lor ((x\land y)\lor (x\land y) \lor (x\land y)),$ $((x \land y) \lor (x \land y) \lor (x \land y))$ $((x\land y)\lor (x\land y) \lor (x\land y))$ $(x \land y)$ $(x\land y)$

— ClementC。
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6

我对此表示怀疑（但不要使用Facebook在那说什么）-Andreev的函数（在本文中）作为二部图给出，其左右顶点集等于GF（q），外加任意边集，并且度数受限制。问题是，是否有一种方法可以为左侧的每个顶点选择其邻居之一，以使导出的函数（从左到右）是低次多项式。一旦我们为每个左顶点选择了一个好的邻居（因为它只是多项式插值），Luca的评论就会适用，但是我不清楚如何做出一个好的选择。

— 安德鲁·摩根

@AndrewMorgan我更新了CW答案。

— Clement C.

@卡尔·威默：关于天气DNF′（g0）计算f，我认为需要使用f是单调的。在定理5中假设f是单调的。

— idolvon '17

困惑！这都是从facebook帖子引用的吗？在单击上面的shachar lovett facebook链接时，上述某些回复对我可见，而另一些对我不可见。例如卡尔·威默（Karl Wimmer）。这是由于在Facebook中筛选了一些朋友的回复吗？如果是这样，这将令人失望，而且它不是公众讨论的好地方。也许有人可以截图？:(或您是否从Facebook帖子外引用内容？请小心/用引文/网址完成

— vzn

哦！进一步的研究，您还引用了baez博客文章中的回复，其中包含Wimmers回复等johncarlosbaez.wordpress.com/2017/08/15/…–

— vzn

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正在Luca Trevisan的博客中讨论所要求证明的正确性：https：//lucatrevisan.wordpress.com/2017/08/15/on-norbert-blums-claimed-proof-that-p-does-not-equal- np /

特别是“ anon”发表了以下相关评论：

“塔多斯（Tardos）观察到拉兹伯罗夫（Razborov）和阿隆-波帕纳（Alon-Boppana）的论点延续到一个由多项式大小的非单调电路计算的函数（该函数是逼近该图的洛瓦兹theta函数的一个小变体。）如果伯格和乌尔夫伯格的论点也申请Tardos的功能（这很可能是直观的，因为他们的证明似乎是基于Razborov的证明），那么很显然Blum的当前主张是不正确的。不幸的是，作者没有讨论这一点。”

在“米哈伊尔”的一个直接问题上，亚历山大·拉兹伯洛夫证实了这一点（见米哈伊尔的帖子）： 伯格和乌尔夫伯格给出的推理完全符合塔多斯的职能，既然如此，布鲁姆的证明必然是不正确的，因为它与原子核矛盾他的论文中第六定理的结论。-A. Razborov

我认为这肯定解决了纸张是否正确（不正确！）的问题。同样重要的是要注意，由于证明方法本身似乎有缺陷，因此似乎很难修复证明。

更新（2017/08/30）诺伯特·布鲁姆（Norbert Blum）在其arXiv页面上发表了以下评论：

证明是错误的。我将详细说明错误是什么。为此，我需要一些时间。我将解释放在我的主页上

— 古斯塔夫·诺德（Gustav Nordh）
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我还没有发表评论的权限，所以将其发布为答案。

— 古斯塔夫·诺德

11

是的，这是我的理解（但我可能错了）。Tardos函数是一个单调函数，在k斜率图上为1，在完全（k-1）分图上为0。据我所知，Berg和Ulfberg仅在CLIF的CNF-DNF逼近证明中使用了这些属性，从而证明Tardos函数具有指数单调复杂性。布鲁姆定理6表示，通过对单调函数进行CNF-DNF逼近得到的单调复杂度下界，给出了相同的非单调下界。因此，根据定理6（是错误的），Tardos函数具有指数复杂性。

— 古斯塔夫·诺德

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在那种情况下，现在看来解决这一问题应该是主要重点……我不认为我有能力或足够的知识来做到这一点，但是（手指交叉，这对打字没有帮助）其他人则是。

— Clement C.

3

这个Tardos函数在哪里定义，有人可以参考这篇论文吗？显然，在P中存在一个将T0和T1分开的非单调函数（很容易构造一个说法，即检查我们是否具有包含k个节点的完整图），但是Tardos函数是单调的吗？如果是单调的，并且将T0和T1分开，则它将使证明无效。但是，如果它不是单调的，那么证明可能仍然是正确的。

— idolvon

4

Tardos的功能在其非常短的论文中定义，该论文位于：cs.cornell.edu/~eva/…此外，Tardos的功能的性质在[S. Jukna，布尔函数复杂度p。272]

— 古斯塔夫·诺德

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Gustav Nordh 在定理5（第29页）上进行了评论。具体来说，功能

(x \lor y) \land (\neg x \lor y) \land (x \lor \neg y)

$(x\lor y) \land (\lnot x \lor y) \land (x \lor \lnot y)$

$1$ $x$ $y$ $1$ $\beta$ $x$ $y$ $\beta$ $g_0$

$DNF'_{\beta}(g_0)$ $\beta$

x \lor y \lor (x \land y)

$x\lor y \lor (x\land y)$

$DNF'_{\beta}(g_0)$ $f$ $DNF'_{\beta}(g_0)$ $x$ $f$ $x=1$ $f(x,y)=1$ $R$

— 狗狗
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2

看来该公式的DNF'为（x AND y）-形成完整的DNF，取消平凡项，并应用吸收

— idolvon '17

2

D N F^{'}

$DNF'$

2

第27-28页的定义涉及运算符R的使用，除了模糊的短语“起源于琐碎的单项式”外，未定义运算符R。如果我们将其表示为“如果保持原义的话将被取消”，那么定义是相同的。无论如何，您都需要对R进行一些解释。由于R在第6章中至关重要，因此正确的解释很重要，实际上有一种归纳法。

— idolvon

2

(x \lor y) \land (\neg x \lor y) \land (x \lor \neg y)

$(x\lor y) \land (\lnot x \lor y) \land (x \lor \lnot y)$

((x \lor y) \land (\neg x \lor y)) \land (x \lor \neg y)

$((x\lor y) \land (\lnot x \lor y))\land (x \lor \lnot y)$

(x \lor y) \lor ((x \land y) \lor (y \land y))

$(x\lor y) \lor ((x\land y)\lor (y\land y))$

x

$x$

(y) \lor (x \land y) \lor (y),

$(y) \lor (x\land y)\lor (y),$

2

y

$y$

x

$x$

((y) \lor (x \land y) \lor (y)) \lor ((x \land y) \lor (x \land y) \lor (x \land y)),

$((y) \lor (x\land y)\lor (y)) \lor ((x\land y)\lor (x\land y) \lor (x\land y)),$

((x \land y) \lor (x \land y) \lor (x \land y))

$((x\land y)\lor (x\land y) \lor (x\land y))$

(x \land y)

$(x\land y)$

17

是否可以使用Reed-Solomon码的列表解码来显示Andreev的POLY函数位于P中，类似于Sivakumar在其成员资格相当的论文中所做的那样？还是已知POLY函数是NP完全的？

— 兰斯·福特诺
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10

兰斯，我不是你问题的答案。1986年6月，戴维·约翰逊（David Johnson）的“本月开放问题”问安德列夫的问题是否是NP完全的。参见《算法学报》 7：2，第289-305页的David NP完整性列。不知道是否有解决方案。

— 拉维·波帕纳

1

约翰逊（Johnson）在1986年发表的文章早于90年代的多项式重构技术和列表解码结果。

— Lance Fortnow

1

这是我使用Norbert Blum论文的第7节中的符号表示的想法。可以将作为POLY问题解决方案的多项式p视为Reed-Solomon码字。通过从A的每个顶点中随机选择一条边来选择函数f。在输入的1 / q分数中，f应该与p一致。然后，我们可以对f使用列表解码，为p创建一个可能的多项式长列表，然后可以检查每个列表。

— Lance Fortnow

1

除非我对您的算法有误解，否则使用Guruswami-Sudan算法，如果协议数量至少，则可以列出-解码

\sim \sqrt{q d}

$\sim \sqrt{qd}$

d

$d$

p

$p$

d \sim \sqrt{\frac{q}{\log q}}

$d \sim \sqrt{\frac{q}{\log q}}$

\frac{1}{q}

$\frac{1}{q}$

4

@Matt假设我正确地阅读了上面的内容，那么该函数就是Blum声称具有被证明具有超多项式电路复杂性的功能。但是如果在P中，则它必须具有多项式电路复杂性，这与所谓的P与NP证明相矛盾。

— Clement C.

14

他更新了arXiv ，说他的证明不正确：

证明是错误的。我将详细说明错误是什么。为此，我需要一些时间。我将解释放在我的主页上。

— 梅尔达德
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9

立顿和里根（Lipton and Regan）的博客在这里进行了精彩的高层讨论，并对证明结构进行了有趣的评论。

他们还指出，布鲁姆的血统书证明布尔电路复杂性的下限已经存在了30多年。当然，这只是“附带信息”，因为专家们已经在认真研究证明。

— 科德鲁
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3

另外，在这里：https : //www.quora.com/Whats-the-status-of-Norbert-Blums-claim-that-operatorname-P-neq-operatorname-NP

引用阿隆·阿米特（Alon Amit）：

（个人意见，8月14日，当天晚些时候）：我认为本文不会经受审查。像P≠NP一样被广泛研究的深刻定理，很可能将用深远的新技术来解决。可以通过对现有已知方法的略微增强来解决它，这并非不可能，但这是非常非常非常不可能的。

— 插口
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11

那不是一个非议论（一个有效的观点，我承认我同意一个观点，但不是一个有效的论点，我认为这是我们应该在这里提出的）。这种事情以前已经发生过。

— Clement C.

8

是的，我没有争吵。只需回答“本文在哪里讨论”这个问题，然后总结到现在为止的讨论。

— 杰克

2

由于以下原因，它不太可能是正确的：近似方法足够通用，可以使用它们来证明任何下界。这是Razborov的结果。为什么会出问题呢？因为这意味着近似方法将不是主要的进展，它可以表达任何内容，而肉将在其他地方。论文中似乎没有这样的内容，这表明作者很可能犯了一个细微的错误，这种错误是肉眼看不见的，但本质上是一种暗示答案的假设。对于那些不是复杂性理论家的人：这是一个很好的气味测试，就像某人声称要在地下室制造火箭并在一周内登上月球一样，这确实是正确的。

那么那个细微的错误在哪里呢？在Trevisan的博客上，洛维特（Lovett）发表了一条评论，暗示定理6中可能存在这种隐含假设。

— 怀疑论者
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好/相关的一点; fyi razborovs的“ no go”是“基于近似方法”（1989年）people.cs.uchicago.edu/~razborov/files/approx.pdf，但是觉得这个证据没有得到很好的分析。一个人必须仔细地理解其陈述的条件是否仅止于“近似方法”一词，自从razborov提出以来已经经过了修订/发展/完善等。这些确切条件显然没有被后来的研究人员进行太多分析。另一个主要障碍是razborov / rudich自然

— 证明书

否决票是因为该答案的内容已在之前的答案中得到了解决。

— 验证

-2

$NP-c$ $P$

$C$ $f$ $f$ $C$ $m$

一个布尔函数只有一个真值表，而没有一个代数表达式，两个问题都没有一个布尔函数可以解决它。

一些（可能是全部）函数是同构的（不是问题）。

$NP=P$ $m$ $m$ $f$ $f$ $f$

— 艾克斯
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