为什么2SAT在P中？

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我遇到了解决2SAT的多项式算法。我发现2SAT在P中（所有（或许多其他）SAT实例都是NP-Complete）令人吃惊。是什么使这个问题与众不同？是什么使它如此容易（NL完全-甚至比P容易）？

— 盖伊
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人们为什么认为这是一个坏问题？

— Peter Shor

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一个有趣的方面是，如果您想知道2SAT表达式（即Max2SAT）中可同时满足的子句的最大数量，那么您将再次回到NP-complete。

— 肖恩·哈克

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这要么是一个可怕的问题，因为它没有一个有用的答案，要么是一个奇妙的问题，因为唯一正确的答案是“没人知道”。

— Jeffε

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请阅读论文“可满足性问题的复杂性：完善Schaefer定理”。

— Diego de Estrada

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亲爱的盖伊，2SAT包含在P中的事实几乎涵盖在所有标准复杂性教科书中，因此当您说刚注意到这一事实时，问题就好像您甚至都没有阅读过复杂性的标准教科书一样。

— 卡韦

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这是根据MGwynne的回答所作的进一步直观而朴实的解释。

使用 -SAT，您只能表达形式含义，其中和是文字。更精确地，每 -clause可以被理解为一对含义：和。如果将设置为true，则必须也为true。如果将设置为false，则必须为false。这样的含义很简单：没有选择，您只有 $2$ $a \Rightarrow b$ $a$ $b$ $2$ $l_1 \lor l_2$ $\lnot l_1 \Rightarrow l_2$ $\lnot l_2 \Rightarrow l_1$ $a$ $b$ $b$ $a$ $1$ 可能，没有大小写乘法的空间。你可以按照每一个可能产生的影响链，看看你是否曾经获得两个的，并从：如果你对一些做，那么2-SAT公式是不可满足的，否则它是满足的。在这种情况下，可能的蕴涵链数在输入公式的大小上被多项式限制。 $\lnot l$ $l$ $l$ $\lnot l$ $l$

使用 -SAT，您可以表示形式含义，其中，和是文字。现在您遇到麻烦了：如果将设置为true，则或必须为true，但是哪个是true？您必须做出选择：您有2种可能性。在这里，可以进行事例乘法，并且在这里发生组合爆炸。 $3$ $a \Rightarrow b \lor c$ $a$ $b$ $c$ $a$ $b$ $c$

换句话说， -SAT能够表达不止一种可能性的存在，而 -SAT没有这种能力。正是多于一个可能性（例如存在可能性中的情况下 -SAT，中的情况下，可能性 -SAT）引起的NP完全问题的典型的组合爆炸。 $3$ $2$ $2$ $3$ $k-1$ $k$

— 乔治·卡梅尼（Giorgio Camerani）
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希望我能对此再投票！更好的答案！

— MGwynne 2011年

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@MGwynne：感谢您的友好评论。不客气，您的回答确实非常好！

— Giorgio Camerani 2011年

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这是对一个很好的问题（IMHO）的很好回答。正如Mac Lane所写的那样：“有效的或棘手的形式操纵是由数学家毫无疑问地具有指导思想的—-但是陈述这种操纵比用语言表达这个想法要容易得多。。。。《数学》杂志的这些想法可以通过操纵的展示使它们大放异彩。” 这种特殊的问答方式有助于“点子成真”（对我而言）。谢谢！:)

— John Sidles 2011年

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@John：非常欢迎！;-)非常感谢您的慷慨评论，我非常感谢。我完全同意Mac Lane的话。

— Giorgio Camerani 2011年

根据Giorgio Camerani的回答，如果您引入更多的虚拟布尔变量，具有更多子句且既没有收益也没有利润，那么将任何NP问题减少到3SAT 都是不值得的，但是更可取的是将其减少到CNF SAT或布尔可满足性或改为使用SAT电路，因为在这些问题中，布尔变量和子句较少，这意味着蛮力天真算法，卡诺图和Quine-McClusky算法具有更好的复杂性：D。

— 告别堆栈交换

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考虑使用2-SAT公式进行解析。任何解析器的大小最多为2（注意，如果对于长度为和子句，如果）。大小为2的子句的数量在变量数量上是二次方的。因此，分辨率算法在P中。 $n + m -2 \le 2$ $n, m \le 2$ $n$ $m$

一旦您获得了3-SAT，您将获得越来越大的解决方案，因此一切都变成了梨形:)。

尝试将问题转换为2-SAT。由于您无法使用大小为3的子句，因此您（通常）无法对涉及3个或更多变量的含义进行编码，例如，一个变量是对另外两个变量进行二进制运算的结果。这是一个巨大的限制。

— MG温妮
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3

“您无法对含义进行编码”-IMP-SAT也在P（我认为是NL）中

— Max

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p \to q

$p \to q$ 只是。

\neg p \lor q

$\lnot p \lor q$

— 卡夫

1

卡夫，很好，现在解决。

— MGwynne 2011年

正如我已经说过的，当您将任意NP问题简化为布尔可满足性，Circuit SAT或CNF SAT时，请不要将问题简化为3SAT，因为随着布尔变量和子句的增多，问题变得更加困难和复杂。在新问题中，甚至分辨率算法的效率也降低了！

— 告别堆栈交换

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正如Walter所说，2-SAT的子句具有特殊的形式。可以利用它来快速找到解决方案。

实际上，可以在多项式时间内确定SAT实例的几类，而2-SAT只是这些易处理类中的一种。易于处理的原因有三种：

（结构可处理性）可以在多项式时间内求解变量以树状方式交互作用的任何SAT实例类别。多项式的次数取决于类中实例的最大宽度，其中宽度衡量的是实例离树的距离。马克思更精确地表明，如果实例具有有限的亚模宽度，则可以使用分治法在多项式时间内确定类别。
（语言可处理性）可以在多项式时间内求解真假变量模式为“ nice”的任何SAT实例。更准确地说，文字模式定义了一种关系语言，而Schaefer对导致易处理性的六种语言进行了分类，每种语言都有自己的算法。2-SAT构成了六个Schaefer类之一。
（混合易处理性）也有一些实例不属于其他两类，但由于其他原因可以在多项式时间内求解。
- DánielMarx，约束约束满足和联合查询的可追踪超图属性，STOC2010。（doi，预印本）
- Thomas J. Schaefer，可满足性问题的复杂性，STOC1978。（doi）

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）
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2

从随机k-SAT文献中也有基于解空间结构的论点，可以用来解释差异。

— 卡韦

3

@Kaveh：我对混合可延展性的描述本来就很模糊，无法涵盖这些东西。例如，对于非常特殊的情况，可以基于LovászLocal Lemma来论证可满足性。见Pearson和Jeavons 1997年的调查结果显示：cs.ox.ac.uk/publications/publication1610-abstract.html

— 安德拉斯·萨拉蒙

3

还要注意，SAT是约束满足问题的特例，其中每个变量都可以取2个值。当变量可以取3个值时，Andrei Bulatov将其分类为10种易处理的语言类：cs.sfu.ca/~abulatov/papers/3-el-journal.ps 混合类对于较大的域也更为有趣。

— 安德拉什萨拉蒙

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如果您了解2SAT的算法，那么您已经知道为什么它在P中-这正是该算法演示的内容。我认为这部漫画说明了我的观点。正如您已经知道2SAT为什么在P中一样，您可能想知道的是为什么2SAT不是NP-hard。

要了解为什么2SAT并不是NP难的，您必须考虑将NP中的其他问题减少到它的难易程度。为了对此有一个直观的了解，请看如何将SAT简化为3SAT，并尝试应用相同的技术将SAT简化为2SAT。2SAT并不像3SAT和其他SAT变体那样具有表现力。

— 戴夫
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