Cormen中提到了两种快速排序分区方法：

Hoare-Partition(A, p, r)
x = A[p]
i = p - 1
j = r + 1
while true
    repeat
        j = j - 1
    until A[j] <= x
    repeat
        i = i + 1
    until A[i] >= x
    if i < j
        swap( A[i], A[j] )
    else
        return j

和：

Lomuto-Partition(A, p, r)
x = A[r]
i = p - 1
for j = p to r - 1
    if A[j] <= x
        i = i + 1
        swap( A[i], A[j] )
swap( A[i +1], A[r] )
return i + 1

不管选择枢轴的方法如何，在哪种情况下都比另一种更好？我知道，例如，当重复值的百分比很高时（即数组表示相同值的2/3以上），Lomuto的预成型效果相对较差，因为Hoare在这种情况下的表现还不错。

还有哪些其他特殊情况使一种分区方法比另一种更好？

教学维度

由于其简单性，Lomuto的分区方法可能更易于实现。乔恩·本特利（Jon Bentley）的《编程珍珠》中有一个很好的轶事：

“ Quicksort的大多数讨论都使用基于两个接近索引[即Hoare的]的分区方案。尽管该方案的基本思想很简单，但我总是发现细节很棘手-我曾经花了两天的大部分时间来寻找隐藏在短分区循环中的错误。初稿的读者抱怨说，标准的两索引方法实际上比Lomuto的方法更简单，并草绘了一些代码来阐明他的观点。我发现两个错误后就停止了寻找。”

性能维度

对于实际使用，为了效率可能会牺牲易于实现的程度。从理论上讲，我们可以确定元素比较的数量并交换以比较性能。此外，实际的运行时间将受到其他因素的影响，例如缓存性能和分支预测错误。

如下所示，除交换次数外，算法在随机排列上的行为非常相似。Lomuto需要的Hoare是Hoare的三倍！

比较数

两种方法都可以使用比较来实现，以对长度为的数组进行分区。这本质上是最佳的，因为我们需要将每个元素与枢轴进行比较以决定放置位置。$n-1$$n$

掉期数

两种算法的交换次数都是随机的，具体取决于数组中的元素。如果我们假设随机排列，即所有元素都是不同的，并且元素的每个排列均具有相同的可能性，则可以分析预期的交换次数。

仅作为相对顺序计数，我们假设元素是数字。由于元素的等级与其值一致，因此下面的讨论更加容易。$1,\ldots,n$

洛穆托法

索引变量扫描整个数组，并且每当找到小于数据透视点的元素，便进行交换。在元素，恰好个元素小于，因此，如果枢轴是，我们将得到交换。A [ j ] x 1 ，… ，n x − 1 x x − 1 $j$$A[j]$$x$$1,\ldots,n$$x-1$$x$$x-1$$x$

然后，通过对所有支点取平均值来得出总体期望。每个值都同样有可能成为枢轴（即，概率为），因此我们有$\{1,\ldots,n\}$$\frac1n$

平均使用Lomuto方法交换长度为的数组。$n$

霍尔法

在这里，分析有些棘手：即使固定枢轴，交换的数量仍然是随机的。$x$

更准确地说：索引和彼此相向直到交叉为止，这总是在发生（通过Hoare分区算法的正确性！）。这有效地将数组分为两部分：左边的部分被扫描，右边的部分被扫描。$i$$j$$x$$i$$j$

现在，正好对每对 “错位”的元素进行交换，即当前位于左侧的一个大元素（大于，因此属于右侧分区）和一个位于右侧的小元素。请注意，这种配对形成总是可行的，即，最初在右侧的小元素数量等于在左侧的大元素数量。$x$

可以证明，这些对的数量是超几何 分布的：对于大元素，我们随机绘制它们在数组中的位置，并在中有位置。左部分。因此，假设枢轴为，则预期的对数为。$\mathrm{Hyp}(n-1,n-x,x-1)$$n-x$$x-1$$(n-x)(x-1)/(n-1)$$x$

最后，我们再次对所有枢轴值取平均，以获得Hoare分区的总交换预期数量：

（更详细的描述可以在我的硕士论文第29页中找到。）

内存访问模式

两种算法都使用两个指针进入数组，并按顺序对其进行扫描。因此，两者的行为几乎都是最佳的wrt缓存。

相等元素和已排序列表

正如Wandering Logic所述，对于非随机排列的列表，算法的性能差异更大。

在已经排序的数组上，Hoare的方法从不交换，因为不存在错位的对（参见上文），而Lomuto的方法仍然进行大约交换！$n/2$

相等元素的存在在Quicksort中需要特别注意。（我自己闯入了这个陷阱；有关“过早优化的故事”，请参阅我的硕士论文，第36页）。考虑一个充满 s 的数组作为极端示例。在这样的数组上，Hoare的方法为每对元素执行一次交换-这是Hoare分区的最坏情况-但和始终在数组中间相遇。因此，我们具有最佳的分区，总运行时间保持在。i j O（n log n $0$$i$$j$$\mathcal O(n\log n)$

Lomuto的方法在全数组上表现得更加愚蠢：比较将始终为真，因此我们对每个元素进行一次交换！但更糟糕的是：循环之后，我们总是有，因此我们观察到最坏的情况下的分区，从而使整体性能降低到！我= Ñ Θ （Ñ 2$0$A[j] <= x$i=n$$\Theta(n^2)$

结论

Lomuto的方法简单且易于实现，但不应用于实现库排序方法。

一些评论增加了塞巴斯蒂安的优秀答案。

我将通常讨论分区重排算法，而不是它对Quicksort的特殊使用。

稳定性

Lomuto的算法是半稳定的：不满足谓词的元素的相对顺序得以保留。Hoare的算法不稳定。

元素访问模式

Lomuto的算法可以与单链表或类似的仅转发数据结构一起使用。Hoare的算法需要双向性。

比较数

Lomuto算法可以执行谓词的应用来划分长度为的序列。（Hoare也是如此）。$n-1$n$n$

但是为了做到这一点，我们必须牺牲两个属性：

1. 要分区的序列不能为空。
2. 该算法无法返回分区点。

如果我们需要这两个属性中的任何一个，我们别无选择，只能通过进行比较来实现该算法。$n$