计算矩阵幂的复杂性

我对计算矩阵的次幂感兴趣。假设我们有一个在时间内运行的矩阵乘法算法。然后，可以轻松地以时间计算。是否可以用更少的时间来解决这个问题？ $n$ $n\times n$ $A$ $\mathcal{O}(M(n))$ $A^n$ $\mathcal{O}(M(n)\log(n))$

通常，矩阵条目可以来自半环，但如果有帮助，则可以采用其他结构。

注意：我了解在一般情况下，以时间计算会得到求幂的算法。但是，许多有趣的问题都归结为矩阵求幂的特殊情况，其中m = ，而我无法证明这个简单问题也是如此。 $A^m$ $o(M(n)\log(m))$ $o(\log m)$ $\mathcal O(n)$

— Shitikanth
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矩阵的条目是什么？整数？

— 卡夫

条目通常可以来自半环，但如果有帮助，则可以采用其他结构。

— Shitikanth'4

从上述提议的方法（即使用

），我无法得到从乘法到平方的简化。但是，使用

可以。但是，这在计算

仅给出

。

(A \pm B)^{2}

$(A\pm B)^2$

{(\begin{array}{cc} 0 & A \\ B & 0 \end{array})}^{2}

$\left( \begin{array}{cc} 0 & A \\ B & 0 \end{array} \right)^2$

Ω (M (n))

$\Omega(M(n))$

A^{n}

$A^n$

— Shitikanth '04年

Answers:

如果矩阵是可对角的，则可以在时间获得第次幂 $n$

O (D (n) + n \log n)

$O(D(n)+ n\log n)$ 中，其中

是对角化

的时间。

D (n)

$D(n)$

A

$A$

只是为了完成细节，如果且对角线为，则 $A=P^{-1}DP$ $D$

A^{n} = (P^{- 1} D P)^{n} = P^{- 1} D^{n} P

$A^n = (P^{-1}DP)^n = P^{-1}D^nP$

通过仅将对角线的每个元素（每个特征值）取第次幂即可计算出和。 $D^n$ $A$ $n$

— 冉G.
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O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{2.3727} \log (m))

$O(n^{2.3727}\log(m))$

A^{m}

$A^m$

（1）您引用的时间并非由Coppersmith-Winograd（您可能知道）。（2）所有该形式的算法仅适用于环；它们不适用于一般的半环（在您的问题中允许）。

— 瑞安·威廉姆斯

$n\times n$ $A$ $A=U\Sigma U^T$ $\Sigma$ $O(n^3)$ $A^m = U \Sigma^m U^T$ $O(n\log m)$ $U \times \Sigma^m \times U^T$ $O(n^{2.3727})$ $O(n^3 + n \log m)$

$O(n^{2.3727}+n \log m)$ $o(M(n)\log(m))$ $o(\log n)$

— 包
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O (n^{2.3727})

$O(n^{2.3727})$

O (n^{2.3727} \log (m))

$O(n^{2.3727}\log(m))$

A^{m}

$A^m$

m = O (n)

$m=O(n)$ 。

— Shitikanth'4

SVD不给

A = U Σ U^{⊤}

$A = U \Sigma U^\top$ 通常-右侧矩阵为

V \neq U^{⊤}

$V \ne U^\top$

— Suresh'4

有一个有点误导

n

$n$ 功率也一样，所以我将使用

m

$m$ 。如果

n = 1

$n=1$ 它应该

O (M (1) \log m

$O(M(1)\log m$ 找时间

A^{m}

$A^m$ ，等于将整数相乘

— PKG 2012年

@Shitikanth参见ccrwest.org/gordon/jalg.pdf，以了解快速求幂算法。通常，使用的数量不能少于

\log m

$\log m$ 乘法。

— 2012年

如上所述，您的问题尚不清楚。

— PKG 2012年