在零一整数线性编程（ILP）中表达布尔逻辑运算

我有一个带有一些表示布尔值的变量的整数线性程序（ILP）$x_i$。的$x_i$的被约束为整数并保持0或1（$0 \le x_i \le 1$）。

我想使用线性约束对这些0/1值的变量表示布尔运算。我怎样才能做到这一点？

更具体而言，我想设置（布尔AND），ÿ 2 = X 1 ∨ X 2（布尔OR），和ÿ 3 = ¬ X 1（布尔非）。我使用0/1的明显解释为布尔值：0 =否，1 =否。如何编写ILP约束以确保y i与x i相关联？$y_1 = x_1 \land x_2$$y_2 = x_1 \lor x_2$$y_3 = \neg x_1$$y_i$$x_i$

（这可以被视为要求将CircuitSAT简化为ILP，或者要求将SAT表示为ILP的方法，但是在这里，我想看到一种编码上述逻辑运算的显式方法。）

逻辑AND：使用线性约束$y_1 \ge x_1 + x_2 - 1$，$y_1 \le x_1$，$y_1 \le x_2$，$0 \le y_1 \le 1$，其中$y_1$被限制为一个整数。这加强了所需的关系。（很整洁，您可以只用线性不等式做到这一点，是吧？）

逻辑OR：使用线性约束$y_2 \le x_1 + x_2$，$y_2 \ge x_1$，$y_2 \ge x_2$，$0 \le y_2 \le 1$，其中$y_2$被限制为一个整数。

逻辑非：使用$y_3 = 1-x_1$。

逻辑蕴涵：为了表达$y_4 = (x_1 \Rightarrow x_2)$（即，$y_4 = \neg x_1 \lor x_2$），我们可以调整为逻辑或的结构。特别地，使用线性约束$y_4 \le 1-x_1 + x_2$，$y_4 \ge 1-x_1$，$y_4 \ge x_2$，$0 \le y_4 \le 1$，其中$y_4$被限制为一个整数。

强制逻辑蕴涵：以表达$x_1 \Rightarrow x_2$必须持有，只需使用线性约束$x_1 \le x_2$（假设$x_1$和$x_2$都已经约束到布尔值）。

XOR：为了表达$y_5 = x_1 \oplus x_2$（异或的$x_1$和$x_2$），则使用线性不等式$y_5 \le x_1 + x_2$，$y_5 \ge x_1-x_2$，$y_5 \ge x_2-x_1$，$y_5 \le 2-x_1-x_2$，$0 \le y_5 \le 1$，其中$y_5$被约束为一个整数。

另外，还有一种技巧是，在制定包含零一（布尔）变量和整数变量混合的问题时，通常可以提供帮助：

投给布尔（版本1）：假设有一个整数变量$x$和要定义$y$使得$y=1$如果$x \ne 0$和$y=0$如果$x=0$。如果附加地知道$0 \le x \le U$，则可以使用线性不等式$0 \le y \le 1$，$y \le x$，$x \le Uy$ ; 但是，这仅在您知道上限和下限时才有效$x$。或者，如果您知道$|x| \le U$。（即$-U \le x \le U$）对于某一常数$U$，那么你可以使用所描述的方法在这里。仅当您知道 |的上限时，才适用 x |$|x|$

转换为布尔值（版本2）：让我们考虑相同的目标，但是现在我们不知道$x$的上限。但是，假设我们知道$x \ge 0$。这就是在线性系统中表达约束的方式。首先，引入一个新的整数变量$t$。添加不等式$0 \le y \le 1$，$y \le x$，$t=x-y$。然后，选择目标函数，以使$t$最小。仅当您还没有目标函数时，这才有效。如果你有$n$非负整数变量$x_1,\dots,x_n$并希望所有的人都投以布尔值，使$y_i=1$，如果$x_i\ge 1$和$y_i=0$，如果$x_i=0$，那么您能介绍$n$变量$t_1,\dots,t_n$与不等式$0 \le y_i \le 1$，$y_i \le x_i$，$t_i=x_i-y_i$并定义目标函数以最小化$t_1+\dots + t_n$。同样，这仅适用于定义目标函数的其他操作（如果除了对布尔值进行强制转换之外，您还打算仅检查所得ILP的可行性，而不是尝试最小化/最大化变量的某些功能）。

对于一些优秀的实践问题和可行的示例，我建议制定整数线性程序：A Rogues'Gallery。

可以在一个范围约束而不是三个约束中建模逻辑与关系（就像在另一种解决方案中一样）。因此，不是将三个约束 它可以使用单范围约束被写入 0 ≤ X 1 + X 2 - 2 ý 1 ≤

如果不是，则没有这样的改进。

通常，对于（Ñ -WAY AND）的约束将是： 0 ≤ ＆Sigma; X 我 - ñ Ÿ ≤ ñ - $y=x_1 \land x_2 \land \dots \land x_n$$n$ 类似地，对于OR： 0 ≤ Ñ ý - Σ X 我 ≤ ñ -

我发现XOR y =x1⊕x2的更短解决方案（x和y是二进制0、1）

仅一行：x1 + x2-2 * z = y（z是任意整数）