为什么不使用DFA最小化时，将NFA最小化是一个难题？

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我知道我们可以通过查找和合并等效状态来最小化DFA，但是为什么我们不能对NFA做同样的事情？我不是在寻找证明或类似的东西-除非证明更容易理解。我只是想直观地理解为什么在不使用DFA最小化的情况下NFA最小化如此困难。

complexity-theory finite-automata nondeterminism

— 邓肯
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对于DFA，有一个很好的代数结构来确定哪些状态可以等效，字符串上的Myhill-Nerode等价关系到DFA的最小化。

对于NFA，情况通常很复杂，因为通常没有唯一的最小NFA。

这是有限语言的示例。这两个自动机均为最小状态。该示例来自Arnold，Dicky和Nivat撰写的关于最小非确定性自动机的论文A注释。 $\{ ab, ac, bc, ba, ca, cb\}$

同一语言的两个NFA

这个答案试图表达一个事实，即这两个问题在技术上是不同的。请参阅vzn的答案，以详细了解问题在计算复杂度方面如何不同。

— 亨德里克·扬
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最短路径问题和最小生成树问题（始终）都没有独特的解决方案，但是仍然可以有效解决。

— 拉斐尔

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您询问了一个直观的方法。

在DFA中，任何给定的输入前缀最多只能达到一种状态。然后，可以将对于任何后缀都无法区分的状态对合并在一起。可以通过后缀区分的状态不能合并。这导致最小自动机与所有其他最小自动机同构。

$pq$ $p$ $P$ $P$ $q$ $Q$ $P$ $q$ $P$ $Q$

$n$ $2^n$

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）
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$O(ns \log n)$

另请参阅此TCS.se问题，计算DFA的最小NFA

— z
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我不知道如何定义困难，但我的意思是没有有效的算法可以解决它。

— 邓肯

@duncan好的，那么您在技术上确实使用了这个词。因此对技术难度有一些澄清。在CS中，“有效”也是一个与PTime相同的技术术语。因此，您的问题实际上与TCS中的一个重要的未解决问题有关–人们广泛怀疑/推测NFA最小化（以及所有PSpace完整问题）确实是“困难的”，即不是在P中，但尚未得到证明。

— vzn13 2013年