为什么相对化是一个障碍？

当我在解释Baker-Gill-Solovay证明时，存在一个可以使用的甲骨文，以及一个可以用的甲骨文给朋友一个，问了一个问题，为什么这样的技术不适合证明问题，我无法给出令人满意的答案。$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

更具体地说，如果我有一种方法可以证明并且如果我可以构造oracles来使上述情况发生，那为什么使我的方法无效呢？$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

关于这个话题有什么论述/想法吗？

更具体地说，如果我有办法证明P≠NP，并且我可以构造预言机来使上述情况发生，那为什么使我的方法无效呢？

注意，后者“ if”不是条件，因为贝克，吉尔和索洛维已经构造了这样一个预言。只是一个数学上的事实，（1）存在一个与P = NP相关的预言，并且（2）存在一个与P≠NP相关的预言。

这意味着，如果您有一种方法来证明P≠NP，并且相同的证明同样可以证明一个更强的结果“ 所有预言A的 P ^A ≠NP ^A ”，那么您的方法注定会失败，因为它与（1）相矛盾。

换句话说，证明P≠NP与证明例如时间层次定理之间存在一些根本区别，因为后者的证明仅使用对角线化，并且同样适用于任何相对化的世界。

当然，这并不意味着没有P≠NP的​​证据。这种证明（如果存在的话）必须不能证明上述更强的结果。换句话说，证明的某些部分必须区分非相对论世界和任意相对论世界。

已经有了很好的答案，但是我想补充一点。

假设我们有一种解决问题的技术，例如对角化。假设我们想证明该技术无法解决特定问题，例如与。如何证明这一点？$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$

在继续之前，请注意，对角化之类的技术在这里不是正式的概念（尽管我们可以做到）。此外，该技术本身无法解决问题的事实并不意味着该技术根本无法解决问题，我们可能能够对其进行修改和/或将其与其他技术结合以解决问题。

现在，让我们回到问题。证明一种技术不能解决特定问题的一种方法是，表明一种技术即使能够解决其他问题，也可以在不同的框架中工作，而在这种情况下我们得到的答案是错误的。这就是这里发生的情况。如果对角化可以将与分开，则对于所有可以使用相同的参数来将与分开。但是我们知道有一个这样的oracle是错误的（将任何问题作为oracle）。因此，对角化无法将与分开。$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP^A}$$\mathsf{P^A}$$A$$\mathsf{PSpace}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

该论点的重点是一种转移原理：

我们可以将不带Oracle的TM的对角化参数传递给带oracle的TM。

这是可能的，因为在这里对角化的论点是基于模拟的机器，而且模拟不依赖于机器的内部，但只有从这些模拟的最终答案。这种对角化称为简单对角化。在仿真中，机器的工作方式无关紧要，我们只关心机器的最终答案。添加一个预言片不会改变这一点，因此模拟和参数在我们具有预言片的框架中也将起作用。

更正式地说，我们可以将对角化参数视为从一类机器（例如）到表明该机器无法解决问题的实例（例如）的函数。该反示例函数是对角化函数。如果对角化给出的反例不依赖于机器内部，则对角化是简单的，即，如果两个多项式时间DTM具有相同的语言，则表明它们不能求解对角化函数给出的的反例是相同的。$\mathsf{P}$$SAT$$SAT$

您可能想知道这是否有很大的限制？为什么反例需要依赖于机器的内部结构？我们可以用对角化来证明分离，而不能用简单对角化来证明吗？答案是肯定的。实际上，Kozen在1978年的论文“亚递归类的索引”（BGS结果三年后）中表明，如果可以与分开，那么就有一个一般的对角化论点。在实践中，已经找到了这样的论点。例如，Fortnow和van Melkebeek的SAT时空下界（2000）使用了一种称为间接对角化的技术，该技术给出了非简单对角化。$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

那么关于对角化不能解决与的说法是错误的吗？好吧，一般来讲，专家在这里所说的对角化是简单的对角化，这是有充分理由的。$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$

一般的对角化参数是如此笼统，以至于称它们为技术实际上没有多大意义，您可以轻松地将任何分离参数转换为对角化参数，而无需太多了解：如果我们已经有某种方法可以分离两个复杂度类，我们可以选择较大类而不是较小类的函数。对较小级别的计算机进行任何枚举。令为枚举中的任何计算机。我们必须为定义反例。但是我们已经知道不能解决问题，因此存在一个实例表明这一点，在上定义对角化函数的值$M$$M$$M$$M$成为那个实例。这是全景视图，如果您想查看详细信息，请查看Kozen的论文。

总结：

• 当专家说“对角化不能解决与 ”时，它们的意思是“ 简单的对角化不能解决与 ”，而不是一般的对角化。$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$
• 简单对角化无法将与分开的原因是，它通过oracles转移到了框架（在文献中被称为“相对对角化”），并且这种分隔不在那里存在。$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$
• 这种从无甲骨文框架转移到带甲骨文框架的方法可以工作的原因是，简单的对角化基于对TM的黑盒模拟，并且无论机器如何工作（无论是否具有甲骨文）都无关紧要。

有两篇很好的文章可以了解有关对角化的更多信息

• 兰斯·福特诺（Lance Fortnow）的调查论文“对角化”，2001年，以及
• Russell Impagliazzo，Valentine Kabanets和Antonina Kolokolova的论文“公理化代数方法”，2009年。（请注意，代数化是简单对角化的扩展。）

令和为两个复杂度类。如果对所有预言者我们都有分隔（）或崩溃（）相对而言是相对的或。Baker-Gill-Solovay证明告诉我们或不相对化。$\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{A} \neq \mathrm{B}$$\mathrm{A} = \mathrm{B}$$\mathrm{O}$$\mathrm{A}^\mathrm{O} \neq \mathrm{B}^\mathrm{O}$$\mathrm{A}^\mathrm{O} = \mathrm{B}^\mathrm{O}$$P = NP$$P \neq NP$

为什么这是个问题？当这一证明出来时，我们知道的大多数技术和技巧都是将“复杂化”的类别分离或折叠，因为它们适用于任何预言家。例如，时间层次定理（以及它的空间和非确定性版本）“相对化”：它们证明了这种分离相对化的类的分离，并且实际上，它们证明了分离相对于任何甲骨文。

如果一项技术或技巧不管存在预言如何都有效，则无法通过上述论据证明或。这意味着我们知道的许多技巧和技术都不能解决这个问题（或者确实可以解决许多悬而未决的问题）。您还可以将其用作所有所谓的证明的健全性检查：检查该想法是否在完整的预言存在的情况下无法成立-如果它仍然可行，那就错了。$P = NP$$P \neq NP$$P \neq NP$$\mathrm{PSPACE}$