随机选择

随机选择算法如下：

输入：一个数组，其中包含（为简单起见，是不同的）数字和一个Ñ ķ ∈ [ Ñ $A$$n$$k\in [n]$

输出：该“等级的元素”（即，一个在位置如果进行了排序）甲ķ $k$$A$$k$$A$

方法：

• 如果有一个元素，则将其返回$A$
• 随机均匀地选择一个元素（“枢轴”）$p$
• 计算集合和- [R = { 一个∈ 甲：一> p $L = \{a\in A : a < p\}$$R = \{a\in A : a > p\}$
• 如果，返回的等级元素。ķ $|L| \ge k$$k$$L$
• 否则，返回等级元素$k - |L|$$R$

我被问到以下问题：

假设，那么您正在寻找中位数，并将 设为常数。在第一次递归调用中，包含中位数的集合的大小最大为的概率是多少？α ＆Element; （1 / 2 ，1 ）α $k=n/2$$\alpha\in (1/2,1)$$\alpha n$

有人告诉我答案是，理由是“所选的枢轴应介于和乘以原始数组之间”$2\alpha - 1$$1−\alpha$$\alpha$

为什么？作为，无论选择哪个元素作为枢轴，都大于或小于原始元素的一半以上。中位数始终位于较大的子数组中，因为分区的子数组中的元素始终小于枢轴。$\alpha \in (0.5, 1)$

如果支点位于原始数组的前半部分（少于一半）中，则中位数肯定会在后半部分中，因为一旦找到中位数，它就必须位于数组的中间位置，并且如上所述，枢轴之前的所有内容都较小。

如果枢轴位于原始数组的后半部分（元素的一半以上），则中位数肯定会在较大的前半部分，出于相同的原因，枢轴之前的所有内容都被认为较小。

例：

3 4 5 8 7 9 2 1 6 10

中位数是5。

假设所选的枢轴为2，因此在第一次迭代后，它变为：

1 2 ....更大的部分....

在第一次迭代后仅1和2被交换。数字5（中位数）仍在前半部分（根据枢轴2）。关键是，中位数始终位于较大的一半，它如何有机会停留在较小的子数组中？

假设您的数组有元素。您已经注意到，中位数始终在第一个分区之后占较大比例。更大的部分具有大小至多α Ñ如果较小部分具有尺寸至少（1 - α ）ñ。当您选择的枢轴不是最小或最大（1 - α ）n个元素之一时，就会发生这种情况。由于α > 1 / 2，你知道这些都是不相交的集合，所以打不好枢纽之一的概率只有2 - 2 α，和1 $n$$\alpha n$$(1-\alpha) n$$(1-\alpha) n$$\alpha > 1/2$$2 - 2\alpha$。$1- 2 + 2\alpha=2\alpha - 1$