通过随机分区进行集中选择？

在数字的数组中查找中值元素的常用简单算法是： $A$ $n$

从采样元素并替换为 $n^{3/4}$ $A$ $B$
排序并找到排名元素和的 $B$ $|B|\pm \sqrt{n}$ $l$ $r$ $B$
检查和在的中位数的相对侧，并且对于某些适当的常数在和与之间最多有元素。如果没有发生，则失败。 $l$ $r$ $A$ $C\sqrt{n}$ $A$ $l$ $r$ $C > 0$
否则，通过在和之间对的元素进行排序来找到中位数 $A$ $l$ $r$

不难看出这是线性运行的，并且成功的可能性很高。（所有不良事件与二项式的期望值相差很大。）

针对相同问题的另一种算法，这里描述的是一种更自然的方法，可以教给看过快速排序的学生：随机选择

还很容易看出，该循环的预期运行时间是线性的：说“回合”是一系列递归调用，当一个人进行1 / 4-3 / 4分割时结束，然后观察到一个回合最多为2。（在第一回合中，成功分割的概率为1/2，然后实际上增加了，因为描述了算法，所以回合长度受几何随机变量支配。）

所以现在的问题是：

是否有可能表明随机选择在线性时间内运行的可能性很高？

我们有回合，并且每个回合的长度至少为，概率最大为，因此并集约束得出运行时间为以概率。 $O(\log n)$ $k$ $2^{-k+1}$ $O(n\log\log n)$ $1-1/O(\log n)$

这有点令人不满意，但实际上是真的吗？

algorithms algorithm-analysis randomized-algorithms

— 路易
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请阐明您的问题指的是哪种算法。

— 拉斐尔

您是在问是否正确应用了工会界限，还是有一个更好，更令人满意的界限？

— 乔

@乔后者。关键是，倒圆是一种伪像，可以使倒圆的长度受几何图形支配。然后，anaylisys会“忘记”该算法是始终在鼻子上进行1 / 4-3 / 4拆分以使几何图形独立的算法的领先还是落后。我在问尤瓦尔（Yuval）在下面所说的“作弊”是否仍然很严密。

— 路易（Louis）

该算法以高概率在线性时间内运行并非是正确的。仅考虑第一轮，运行时间至少为乘以随机变量。令 $\Theta(n)$ $G(1/2)$ $p(n) \longrightarrow 0$ $\Pr[G(1/2) \geq \log_2 p(n)^{-1}] = p(n)$ $\Omega(n \log_2 p(n)^{-1}) = \omega(n)$

（涉及一些作弊，因为第一轮的长度并不是真正的。更仔细的分析可能会或可能不会验证此答案。） $G(1/2)$

编辑：Grübel和Rosler证明，比较的预期次数除以会（在某种意义上）趋于某种极限分布，该极限分布是无界的。例如，请参阅Grübel的论文“ Hoare的选择算法：马尔可夫链方法”，该论文引用了他们的原始论文。 $n$

— Yuval Filmus
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这是困扰我的事情。就像我在上面的评论中说的那样，回合只是分析算法的“慢速”版本的一种方法，该算法要等到获得足够好的枢轴才能继续进行。您所显示的是，对于任何固定，第一轮需要大于轴的概率为。但是，从原则上讲，较长的第一轮可以由一个空的第二轮抵消，从某种意义上说，最后，“非慢速”算法追赶到总是获得1 / 4-3 / 4分割的算法。

C > 0

$C>0$

C

$C$

> 0

$>0$

— 路易（Louis）

这是不正确的，如果第一轮很长，那么整个运行时间就会很长，因为以后的轮次不会减少运行时间。关键是，对于任何，第一轮花费的时间至少为且概率为。

C

$C$

C n

$Cn$

p_{C} > 0

$p_C > 0$

— Yuval Filmus 2012年

我现在过得快乐，因为圆长度不太多比用于上界的几何感较小。我想这就是G＆R严格的要求。好答案。

— 路易（Louis）