存在工会的情况下NFA和DFA之间的指数分离

最近，有人提出了一个有趣的问题，随后将其删除。

对于常规语言 $L$ ，其DFA复杂度是接受它的最小DFA的大小，而它的NFA复杂度是接受它的最小NFA的大小。众所周知，至少在字母的大小不受限制的情况下，两个复杂度之间存在指数分隔。确实，考虑由字母构成的语言 $L_n$ ，该字母由不包含所有符号的所有单词组成。使用Myhill-Nerode定理，可以轻松计算DFA复杂度。另一方面，NFA复杂度仅为（如果允许多个初始状态，则为 $\{1,\ldots,n\}$ $2^n$ $n$ $n+1$ ）。

有关删除的问题，DFA覆盖的复杂性语言，这是最小的 $C$ ，使得 $L$ 可以写成的DFA复杂语言最多的（不一定是不相交）工会 $C$ 。覆盖复杂度的DFA $L_n$ 仅 $2$ 。

NFA复杂度与DFA覆盖复杂度之间是否有指数级的距离？

regular-languages finite-automata

— Yuval Filmus
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考虑语言，其中是一个新符号。的NFA复杂度为。我们将证明其DFA覆盖复杂度为。 $M_n = \epsilon +(L_n \#)^*L_n$ $\#$ $M_n$ $n$ $2^n$

让是DFA接受一些语言，具有转移函数。如果存在某个单词使得是一个接受状态则将状态称为可行。对于任何两个非故障状态，让 $A$ $L(A) \subseteq M_n$ $q_A$ $s$ $w$ $q_A(s,w)$ $s,t$ 不难检查每一个字可以写为其中一些可行的。

{一种}_{s ， Ť} = {w \in （ 1 + \dots + ñ ）^{*} ： q_{一种} （ s ， w ） = Ť} 。

$A_{s,t} = \{ w \in (1+\cdots+n)^* : q_A(s,w) = t \}.$

w \in L (A)

$w \in L(A)$

w = w_{1} # \dots # w_{l}

$w = w_1\# \cdots \#w_l$

w_{i} \in A_{s_{i}, t_{i}}

$w_i \in A_{s_i,t_i}$

s_{i}, t_{i}

$s_i,t_i$

假设，其中每个是一个DFA。令为所有语言生成的晶格。我们可以查看作为一种语言超过，对应于任何两个符号之间的空间。在这种观点下， $M_n = \bigcup_{i=1}^N L(A^i)$ $A^i$ $P$ $A^i_{s,t}$ $L(A^i)$ $L_P(A^i)$ $P^*$ $\#$ $M_n$ 对应于。 $P^*$

呼叫通用，如果由于某种是这样的情况，对于所有有，使得。我们声称某些是通用的。否则，每个最多包含 $L_P(A^i)$ $x \in P^*$ $y \in P$ $z \in P^*$ $xyz \in L_P(A^i)$ $L_P(A^i)$ $L_P(A^i)$ 个长度为单词。总的来说，必须包含所有字，长度为，因此，这是违反了足够大。 $(|P|-1)^l$ $l$ $L_P(A^i)$ $|P|^l$ $l$ $|P|^l \leq N (|P|-1)^l$ $l$

假设是通用的，为简洁起见，写。让是对应的前缀，让是对应于它的一些字。因此，对于每个有一些使得。 $L_P(A^i)$ $A = A^i$ $x' \in P^*$ $x \in M_n$ $y \in L_n$ $z_y \in M_n$ $x\#y\#z_y \in L(A_i)$

对于一个子集，让在于字母的顺序写。我们声称单词对于A的Myhill-Nerode关系是不等价。事实上，假设，去寻找（不失一般性）。然后 $S \subseteq \{1,\ldots,n\}$ $y_S$ $S$ $x\#y_S$ $A$ $S \neq T$ $a \in S \setminus T$ 而。因此，必须至少具有个状态。 $x\#y_T y_{\{1,\ldots,n\} - a} \# z_{y_T y_{\{1,\ldots,n\} - a}} \in L(A)$ $x\#y_S y_{\{1,\ldots,n\} - a} \# z_{y_T y_{\{1,\ldots,n\} - a}} \notin M_n$ $A$ $2^n$

— Yuval Filmus
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