算法，语言和问题之间有什么区别？

似乎在此站点上，人们经常会因“算法”和“问题”引起混淆而纠正他人。这些有什么区别？我怎么知道什么时候应该考虑算法并考虑问题？这些与形式语言理论中的语言概念有何关系？

为简单起见，我将仅考虑“决策”问题，该问题的回答为是/否。功能问题的工作方式大致相同，不同的是，每个输入字都有一个特定的输出字，而不是是/否。

语言：语言只是一组字符串。如果您有一个字母，例如 ，那么是仅包含符号的所有单词的集合。例如，是任意长度的所有二进制序列的集合。不过，字母不必是二进制的。它可以是一元，三元等。Σ * Σ { 0 ，1 } $\Sigma$$\Sigma^*$$\Sigma$$\{0,1 \}^*$

字母语言是任何子集。＆Sigma; $\Sigma$$\Sigma^*$

问题：问题是一些有关我们希望回答的问题。具体地说，决策问题是这样一个问题：“我们给定的输入是否满足属性？$X$

语言是问题的正式体现。当我们想从理论上对决策问题进行推理时，我们通常会检查相应的语言。对于问题，相应的语言是：$X$

y X y X $L = \{w \mid w$为输入的编码到问题，答案输入为问题为“是” $y$$X$$y$$X$$\}$

确定针对决策问题的输入的答案是否为“是”等同于确定该输入在字母表上的编码是否为相应的语言。

算法：算法是解决问题的逐步方法。注意，有一种算法可以用多种方式和多种语言来表示，并且有许多不同的算法可以解决任何给定的问题。

图灵机：图灵机是算法的形式类似物。在给定字母上的图灵机，对于每个单词，会或不会停在接受状态。因此，对于每个图灵机，都有对应的语言：$M$

w $L(M) = \{w \mid M$在输入处于接受状态。$w\}$

（图灵机在所有输入上都停止，在yes输入上都暂停，这之间存在细微的区别，这定义了复杂度类和之间的区别。）R $\mathsf{R}$$\mathsf{RE}$

语言和图灵机之间的关系如下

1. 每台图灵机只接受一种语言

2. 可能有不止一台图灵机接受一种给定的语言

3. 可能没有图灵机接受给定的语言。

关于算法和问题，我们可以说大致相同的东西：每个算法都可以解决一个问题，但是可能有0个或多个算法可以解决一个给定的问题。

时间复杂度：算法和问题之间最常见的混淆源之一是关于复杂度类。正确的分配可以总结如下：

• 算法具有时间复杂度
• 问题属于复杂性类别

算法可能具有一定的时间复杂度。我们说，如果对于大小为任何输入，算法最多停止步，则该算法具有最坏情况的上限复杂度 。f （n ）$f(n)$$f(n)$$n$

问题没有运行时，因为问题与实际运行的特定算法无关。相反，如果存在某种在给定时间复杂度下解决该问题的算法，我们就说问题属于复杂度类别。

P X X P X X $\mathsf{P}, \mathsf{NP}, \mathsf{PSPACE}, \mathsf{EXPTIME}$等都是复杂度类别。这意味着它们包含问题，而不是算法。一个算法永远不能在，但是如果有一个多项式时间算法可以解决给定的问题，那么就在。也可能有一堆接受的指数时间算法，但是由于存在一个接受多项式时间算法，因此它在。$\mathsf{P}$$X$$X$$\mathsf{P}$$X$$X$$\mathsf{P}$