为什么FPTAS中的所有问题也都在FPT中？

根据Wikipedia关于多项式时间近似方案的文章：

FPTAS中的所有问题都是固定参数可处理的。

这个结果令我惊讶-这些类似乎彼此完全不同。FPTAS通过问题的容易程度来表征问题，而FPT通过问题相对于某些参数的困难来表征问题。不幸的是，维基百科（在我问这个问题时）并未对此进行引用。

是否有此结果的标准证明？还是有我可以查阅的资料来了解有关此连接的更多信息？

实际上会有更强的结果；一个问题是在类，如果它有一个FPTAS ¹：一个 -近似在所界定的时间运行（即大小和近似因子均为多项式）。有一个更通用的类放宽了绑定到 -本质上是近似因子的类似运行时间。 ε （Ñ + $\mathrm{FPTAS}$$\varepsilon$EPTASf（$(n+\frac{1}{\varepsilon})^{\mathcal{O}(1)}$$\mathrm{EPTAS}$˚FP$f(\frac{1}{\varepsilon})\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$$\mathrm{FPT}$

显然的一个子集，并将其结果是的一个子集在以下意义：E P T A S E P T A S F P $\mathrm{FPTAS}$$\mathrm{EPTAS}$$\mathrm{EPTAS}$$\mathrm{FPT}$

定理 如果一个NPO问题有一个$\Pi$ eptas，则由解的成本参数化是固定参数可处理的。Π$\Pi$

该定理和证明在Flum＆Grohe [1]中以定理1.32（pp。23-24）给出，他们将其归因于Bazgan [2]，这使得它比Cai＆Chen的弱结果要早两年（但在法国，技术报告）。

我将给出一个证明的草图，因为我认为这是一个很好的定理证明。为简单起见，我将制作最小化版本，只是在头脑上进行适当的反转以最大化。

证明。让是eptas为，那么我们就可以构造一个参数化算法为参数由溶液成本如下：给定的输入，我们运行输入，其中我们设置（即，我们选择边界近似值）。让是解决方案，是成本和是实际的近似比到Π 甲' Π ķ （X ，ķ ）甲X ε ：= $A$$\Pi$$A'$$\Pi$$k$$(x,k)$$A$$x$ 1+$\varepsilon := \frac{1}{k+1}$ Ÿ成本（X，ÿ）ÿ- [R （X，ÿ）ÿ选择（X）成本（X，ÿ）=- [R （X，ÿ）⋅选择（X$1+\frac{1}{k+1}$$y$$\text{cost}(x,y)$$y$$r(x,y)$$y$$\text{opt}(x)$，即。$\text{cost}(x,y) = r(x,y)\cdot \text{opt}(x)$

如果，则显然接受。如果，则将其拒绝为因为是一个eptas且选择（X ）≤ 成本（X ，ÿ ）≤ ķ 成本（X ，ÿ ）> ķ - [R （X ，ÿ ）≤ 1 + $\text{cost}(x,y) \leq k$$\text{opt}(x) \leq \text{cost}(x,y) \leq k$$\text{cost}(x,y) > k$$r(x,y) \leq 1+\frac{1}{k+1}$$A$

当然，您可以简单地从是eptas得到的运行时间。一$A'$$A$$\Box$

当然，正如Pål所指出的那样，参数化的硬度结果意味着除非存在某些塌陷，否则任何eptas都不存在，但是中没有eptas（甚至ptas）存在问题，因此是集（在定理的意义上）。E P T A S F P $\mathrm{FPT}$$\mathrm{EPTAS}$$\mathrm{FPT}$

脚注：

1. 一个FPTAS（等同eptas或贸易协定）是具有如上述限定的运行时间的近似方案。所述类 （当量，）是该组中的问题具有这样的方案。E P T A S P T A S N P $\mathrm{FPTAS}$$\mathrm{EPTAS}$$\mathrm{PTAS}$$\mathrm{NPO}$

[1]：J. Flum和M. Grohe，参数化复杂度理论，Springer，2006年。
[2]：C. Bazgan。Schémasd'approximation etcomplexitéparamétrée，Rapport de DEA，巴黎南大学，1995年。