使用对抗参数找到第k个最小元素的下界

在许多文本中，使用中位数的自变量得出了找到第个最小元素的下限。如何使用敌对参数找到一个？$k$

维基百科说锦标赛算法运行在，并且被给定为下限。$O(n+k\log n)$$n - k + \sum_{j = n+2-k}^{n} \lceil{\operatorname{lg}\, j}\rceil$

我将简要概述对手论点的草图。

考虑您的选择算法与我们称为对手的对手对抗，对手的目的是为您的算法提供输入$X$以使您的算法完成的比较操作数量最大化。确实，您的算法可以看作是比较树，其中的路径对应于部分顺序。当算法向对手询问元素对$(x, y)$时，对手返回$x < y$或$y < x$。对手的答案永远不会与先前的结果相矛盾。

假设第$k$个最大元素为$x^*$：考虑到与比较树的任何叶子相关的偏序，则$x^*$必须与其他所有元素都具有可比性，以便算法正确，因此该算法必须具有由至少一个比较$(y, z)$ $\forall y \neq x^*$，其结果是要么$y < z \leq x^*$或$x^* \leq z < y$。称这样的比较对于元素y至关重要$y$。显然，对手想要最大化您算法进行的非关键比较的次数。

令$L$为$k−1$最大元素的集合；您的算法需要正确识别$L$所有元素以及$X \setminus L$的最大元素，即$x^*$。观察到，在每个元素$X \setminus L$已经失去至少一个关键比较。现在，对手采取的策略是迫使L中的$k - 1$元素至少赢得each lg n$L$$\left\lceil {\lg \frac{n}{{k - 1}}} \right\rceil$比较，其中没有一个是至关重要的$X \setminus L$。将XnL的其余$n - k$关键比较相加，即可得到下界。Jeff Erikson指出，有关详细信息，请阅读以下优秀文章。$X \setminus L$