测试n个项目时，如何用尽可能少的s-子集覆盖所有t-子集？

此问题源于软件测试。这个问题有点难以解释。我将首先给出一个示例，然后尝试概括该问题。

共有10个要测试的项目，例如A到J，以及一个可以同时测试3个项目的测试工具。测试工具中项目的顺序无关紧要。当然，要进行详尽的测试，我们需要10 C 3的项目组合。$^{10}C_{3}$

问题比较复杂。还有一个附加条件是，一旦一对项目一起测试过，就不需要再对同一对进行测试。

例如，一旦我们执行以下三个测试：

美国广播公司

ADE

BDF

我们不必执行：

ABD

因为第一个测试用例覆盖了A，B对，第二个覆盖了A，D，第三个覆盖了B，D。

因此，问题在于，我们需要确保所有对都经过测试的最小测试用例数量是多少？

概括地说，如果我们有n个项目，则可以同时测试s，并且我们需要确保测试所有可能的t元组（使得s> t），我们需要的最小测试用例数是多少？ n，s和t的项？

最后，什么是生成所需测试用例的良好算法？

您想要的模块设计（一次测试3项，并涵盖所有对）被称为Steiner三元系统。存在一个带有1的Steiner三元系统三元组每当Ñ≡1ö- [R3模6，和算法是已知的构造这些。例如，请参见此MathOverflow问题（带有指向有效的Sage代码的链接！）。对于其他Ñ，可以向上舍入到下一个Ñ'≡1ö- [R3模6，并且使用该三重系统的变形例为Ñ'以覆盖所有对Ñ。$\frac{1}{3} {n \choose 2}$$n \equiv 1 \mathrm{\ or\ } 3$$6$$n$$n' \equiv 1 \mathrm{\ or\ } 3$$6$$n'$$n$

$n$ $C(n,3,2)$$C(n,3,2)$; 如果这个公式成立，从直觉上讲，这意味着可能应该有很好的算法来构造这些覆盖物，但是由于该公式是推测的，因此很明显，目前尚无人知道它们。

$C(n,3,2)$

$G$$G=(V,E)$$V=\{\{a,b\} : a,b \in \text{Items} \land a\ne b\}$$E=\{(s,t) : s,t \in V \land |s\cap t|=1\}$${n \choose 2}$$2n-4$

$G$$(\{A,B\},\{B,C\}) \in E$$A B C$${n \choose 2}/2$$1.5$

$s=3$$t=2$${n \choose 2}/3$${n \choose 2}$${n \choose 2}$

如果您实际上是对此进行编程，那么可以通过首先随机选择一些数字测试，然后对到目前为止尚未覆盖该测试的对进行强力测试来优化此方法。

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$s$$t$${n \choose t}/{s \choose t}$$C \cdot \frac{{n \choose t}}{s \choose t}\cdot {\log({n \choose t})} \leq O(t \cdot (\frac{n-t}{s-t})^t \log(n))$

$s$$S \subseteq [n]$$t$$X \subseteq [n]$$\Pr[X \subset S] = \frac{{n-t \choose s-t}}{{n \choose s}}$$C \cdot {n \choose t} \cdot {\log({n \choose t})}$

$$\Pr[X \text{ does not belong to any of them}] = \left(1 - \frac{{n-t \choose s-t}}{{n \choose s}}\right)^{C \cdot {n \choose t} \cdot {\log({n \choose t})}} \leq \exp \left(-C \frac{{n-t \choose s-t}{n \choose t}}{{n \choose s}{s \choose t}} \cdot \log({n \choose t})\right) = \exp(-C \log{n \choose t})\leq 1/{n \choose t}.$$

$O(t \cdot (\frac{n-t}{s-t})^t \log(n))$$t$