Questions tagged «combinatorics»

在计算机科学中，我们经常必须解决递归关系，即为递归定义的数字序列找到闭合形式。在考虑运行时时，我们通常主要对序列的渐近增长感兴趣。 例子是 尾递归函数的运行时间从向下逐步降为，的身体花费时间：000nnnf(n)f(n)f(n) T(0)T(n+1)=0=T(n)+f(n)T(0)=0T(n+1)=T(n)+f(n)\qquad \begin{align} T(0) &= 0 \\ T(n+1) &= T(n) + f(n) \end{align} 的斐波那契序列： F0F1Fn+2=0=1=Fn+Fn+1F0=0F1=1Fn+2=Fn+Fn+1\qquad \begin{align} F_0 &= 0 \\ F_1 &= 1 \\ F_{n+2} &= F_n + F_{n+1} \end{align} 具有括号对的Dyck单词数：nnn C0Cn+1=1=∑i=0nCiCn−iC0=1Cn+1=∑i=0nCiCn−i\qquad\begin{align} C_0 &= 1 \\ C_{n+1}&=\sum_{i=0}^{n}C_i\,C_{n-i} \end{align} mergesort运行时重复出现在长度为列表上：nnn T(1)T(n)=T(0)=0=T(⌊n/2⌋)+T(⌈n/2⌉)+n−1T(1)=T(0)=0T(n)=T(⌊n/2⌋)+T(⌈n/2⌉)+n−1\qquad \begin{align} T(1) &= T(0) = 0 \\ T(n) …

89 asymptotics  proof-techniques  combinatorics  recurrence-relation  reference-question 

所述3SUM问题试图识别3点的整数a,b,ca,b,ca,b,c从一组大小的使得。n a + b + c = 0SSSnnna+b+c=0a+b+c=0a + b + c = 0 据推测，没有比二次方更好的解决方案，即。或者换句话说：。o（n log （n ）+ n 2）o(n2)o(n2)\mathcal{o}(n^2)o(nlog(n)+n2)o(nlog⁡(n)+n2)\mathcal{o}(n \log(n) + n^2) 因此，我想知道这是否适用于广义问题：在大小为的集合为中的找到整数，使得。我∈ [ 1 .. ķ ] 小号Ñ Σ 我∈ [ 1 .. ķ ]一个我 = 0aiaia_ii∈[1..k]i∈[1..k]i \in [1..k]SSSnnn∑i∈[1..k]ai=0∑i∈[1..k]ai=0\sum_{i \in [1..k]} a_i = 0 我认为您可以在针对（推广简单的k = 3算法很简单）。 但是对于k的其他值是否有更好的算法？ķ …

29 complexity-theory  combinatorics  complexity-classes 

我目前正在阅读有关算法和复杂性的书。目前，我正在阅读有关可计算和不可计算的函数的书，并且我的书中指出，不可计算的函数比可计算的函数多，实际上，大多数函数都是不可计算的。从某种意义上说，我可以直观地接受这一点，但是这本书没有给出正式的证明，也没有对此主题进行详尽的阐述。 我只是想看一个证明/让这里的人详细介绍一下/更严格地理解为什么不可计算的功能比可计算的功能多得多的原因。

29 computability  turing-machines  combinatorics 

对于常规语言，令为长度为中的单词。使用约旦规范形式（应用于的某些DFA的无注释转换矩阵），可以证明对于足够大的， 其中是复数多项式，是复数“特征值”。（对于小，我们可能具有形式的附加项，其中如果且为且Ç Ñ（大号）大号ñ 大号Ñ Ç Ñ（大号）= ķ Σ我= 1个 P 我（Ñ ）λ Ñ 我，P 我λ 我 Ñ Ç ķ [ Ñ = ķ ] [ Ñ = ķ ] 1 ñ = ķ 0大号LLCñ（大号）cn(L)c_n(L)大号LLñnn大号LLñnnCñ（L ）= ∑我= 1ķP一世（n ）λñ一世，cn(L)=∑i=1kPi(n)λin, c_n(L) = \sum_{i=1}^k P_i(n) \lambda_i^n, P一世PiP_iλ一世λi\lambda_iñnnCķ[ n = k ]Ck[n=k]C_k[n=k][ n = …

28 formal-languages  reference-request  regular-languages  asymptotics  combinatorics 

（我是一名具有一定数学背景的学生，我想知道如何计算特定种类的二叉树的数量。） 综观对维基百科页面二叉树的，我已经注意到了这个说法，即大小的扎根二叉树的数量应该是这样的加泰罗尼亚号码： C_N = \ dfrac {1} {N + 1} {2N \选择N}nnnCn=1n+1(2nn)Cn=1n+1(2nn)C_n = \dfrac{1}{n+1}{2n \choose n} 但是我不明白我自己怎么能得出这样的结果？有找到这种结果的方法吗？ 现在，如果不考虑子树的顺序（左，右）？例如，从我的角度来看，我认为这两棵树是相同的： /\ /\ /\ /\ 是否可以应用类似的方法来计算这些对象中有多少个恰好具有nnn节点？

28 combinatorics  binary-trees  discrete-mathematics 

给定一组具有不同面额和值v的硬币，您希望找到代表值v所需的最少数量的硬币。Ç 1 ，。。。，Ç ñc1,...,cnc1, ... , cn 例如，对于硬币集1,5,10,20，这给2和6的硬币和6和19的硬币。 我的主要问题是：何时可以使用贪婪策略解决此问题？ 优点：这句话显然是不正确的吗？（摘自：如何分辨贪婪算法是否足以解决最小硬币找零问题？） 但是，本文证明，如果贪婪算法适用于第一个最大定理值和第二个最大定理值，那么它将适用于所有第一个定理值，并且建议仅使用贪婪算法与最佳DP算法进行检查。 http://www.cs.cornell.edu/~kozen/papers/change.pdf 附言 请注意，该线程中的答案令人难以置信-这就是为什么我再次提出这个问题。

24 algorithms  combinatorics  greedy-algorithms 

给定自然数X的多集，请考虑所有可能总和的集合： sums(X)={∑i∈Ai|A⊆X}sums(X)={∑i∈Ai|A⊆X}\textrm{sums}(X)= \left\{ \sum_{i \in A} i \,|\, A \subseteq X \right\} 例如，而 。sums({1,5})={0,1,5,6}sums({1,5})={0,1,5,6}\textrm{sums}(\left\{1,5\right\}) = \left\{0, 1, 5, 6\right\}sums({1,1})={0,1,2}sums({1,1})={0,1,2}\textrm{sums}(\left\{1,1\right\}) = \left\{0, 1, 2\right\} 计算逆运算最有效的算法是什么（以输入和的大小来衡量）？具体来说，可以有效地计算以下任何一项： 给定集是否为有效的和集。（例如，有效，而无效。）{0,1,2}{0,1,2}\left\{0,1,2\right\}{0,1,3}{0,1,3}\left\{0,1,3\right\} 一个累加到给定集合的多重集。 在最小的多重集，总结到给定。（例如，和总和为但前者较小。）{ 1 ，1 ，1 } { 0 ，1 ，2 ，3 }{1,2}{1,2}\left\{1,2\right\}{1,1,1}{1,1,1}\left\{1,1,1\right\}{0,1,2,3}{0,1,2,3}\left\{0,1,2,3\right\}

24 algorithms  optimization  combinatorics  integers 

最初，引入拟阵来概括子集在某个地面集合的线性独立性的概念。包含此结构的某些问题允许贪婪算法找到最佳解决方案。后来引入了贪婪的概念来概括这种结构，以捕获更多的问题，以便通过贪婪的方法找到最佳的解决方案。EEEIII 这些结构在算法设计中多久出现一次？ 此外，贪婪算法通常不能完全捕获找到最佳解的必要条件，但仍然可以找到非常好的近似解（例如Bin Packing）。鉴于此，有没有一种方法可以衡量问题与贪婪或类人动物有多“接近”？

23 algorithms  optimization  combinatorics  greedy-algorithms  matroids 

一家披萨商业广告声称您可以将其成分组合成3,400万种不同的组合。我不敢相信，所以我除掉了生锈的组合技巧，并试图弄清楚。到目前为止，这是我的一切：从在线订购网站上，我有了选择 地壳（4种，选择1种） 大小（4种，选择1），某些地壳被限制为一定的大小-不考虑该大小，但希望如此。 奶酪（5种，选择1种） 酱油（4种，选择1种） 酱油级别（3种，选择1种） 肉（9种，最多选择9种） 非肉类（15种，最多选择15种） 因此，我认为这是一个组合问题（顺序并不重要），而不是n选择k问题，除了结皮和结皮，大小，奶酪，酱汁和酱汁水平都只能选择一个以外，null不允许任何其他内容。肉类和非肉类？因此将是：2?2?2^? 外壳 (41)=4(41)=4\binom{4}{1}=4 大小 (41)=4(41)=4\binom{4}{1}=4 奶酪(51)=5(51)=5\binom{5}{1}=5 酱 (41)=4(41)=4\binom{4}{1}=4 酱汁水平(31)=3(31)=3\binom{3}{1}=3 肉29=51229=5122^9 = 512 非肉类215=32768215=327682^{15} = 32768 在这一点上，我很棘手，如何将这些结合起来以得出可能的结合总数？ 我发现此站点很有帮助。 ETA： 如果我不考虑地壳尺寸的限制-一些地壳仅在某些尺寸下可用-超过160亿个；提供了16,106,127,360个组合，因此它们相差很大。

20 combinatorics  discrete-mathematics 

令为固定大小的有限字符集。令α为Σ上的一些字符串。我们说一个非空子串β的α是一个重复的，如果β = γ γ对于一些字符串γ。ΣΣ\Sigmaαα\alphaΣΣ\Sigmaββ\betaαα\alphaβ= γγβ=γγ\beta = \gamma \gammaγγ\gamma 现在，我的问题是以下条件是否成立： 对于每一个，存在一些Ñ ∈ Ñ使得对于每个字符串α超过Σ至少长度的Ñ，α含有至少一个重复。ΣΣ\Sigman∈Nn∈Nn \in \mathbb{N}αα\alphaΣΣ\Sigmannnαα\alpha 我已经对二进制字母进行了检查，在这种情况下，这非常容易，但是大小为3的字母已经很难检查了，我是否想证明任意大的语法。 如果上述猜想是正确的，那么我可以（几乎）消除在其他问题中插入空字符串的需求。

20 combinatorics  strings  word-combinatorics 

假设您得到一个数字mmm（使用二进制编码中的O(logm)O(log⁡m)O(\log m)位）。 您能在（找到（或确定不存在）n，k \的速度有多快Ñ ，ķ ∈ Ñ，1 &lt; ķ ≤ Ñ2：（ nķ） =米ñ，ķ∈ñ，1个&lt;ķ≤ñ2：（ñķ）=米n,k\in \mathbb N, 1<k\leq\frac{n}{2}:{n \choose k}=m ？ 例如，给定输入m = 8436285米=8436285m=8436285，可以输出n = 27 ，k = 10ñ=27，ķ=10n=27, k=10。 针对该问题的幼稚算法将遍历n的所有可能值ññn，并搜索满足该属性的k值ķķk。 一个简单的观察结果是，无需检查小于\ log m或大于O（\ sqrt m）的n值。但是（即使我们只能检查每个n值O（1）个可能的k值），这最终导致效率低下的算法，该算法的输入大小成指数增长。ññn日志米日志⁡米\log mÔ （米--√）Ø（米）O(\sqrt m)Ô （1 ）Ø（1个）O(1)ķķkññn 一种替代方法是遍历k的可能值ķķk（足以检查{ 2 ，3 ，... ，2 日志m }{2，3，…，2日志⁡米}\{2,3,\ldots,2\log m\}），并为每次检查确定可能的ññn值。然后，我们可以使用： （nķ）ķ&lt; （ nķ） …

19 algorithms  combinatorics 

整数列表中存在多少个不同的最大堆？nnn 示例：列表 [1, 2, 3, 4] 最大堆可以是4 3 2 1： 4 / \ 3 2 / 1 或4 2 3 1： 4 / \ 2 3 / 1

19 data-structures  combinatorics  heaps 

单向图是有向图，因此从任何一个顶点到任何其他顶点最多只有一条简单路径。 单态图可以具有周期。例如，一个双向链接列表（不是循环列表！）是一个单感图。如果列表包含元素，则该图具有个长度为2的循环，总共。n - 1 2 （n - 1 ）ñnnn − 1n−1n-12 （n − 1 ）2(n−1)2(n-1) 具有个顶点的单态图的最大边数是多少？渐近边界将是可行的（例如或）。O （n ）Θ （n 2）ñnnO （n ）O(n)O(n)Θ （n2）Θ(n2)\Theta(n^2) 受到加权单态图中查找最短路径的启发; 在我的证明中，我最初想声称边的数量为但随后意识到限制循环数就足够了。O （n ）O(n)O(n)

19 graphs  combinatorics 

我是这个论坛的新手，只是一名物理学家，他这样做是为了保持大脑健康，因此，如果我不使用最优雅的语言，请显示优雅。如果您认为其他标签更合适，也请发表评论。 我试图解决这个问题，对此我需要计算哈密顿周期数在Ñ阶的Sierpinski-图表小号Ñ。（还请参见上面的链接以获取谢尔宾斯基图的定义和图片）C(n)C(n)C(n)nnnSnSnS_n 我找到了，但是我一定搞砸了，因为我的解决方案与给定的值C （5 ）= 71328803586048不匹配。我的论点包括非常基本的思想，我找不到错误。任何帮助是极大的赞赏。即使看起来很冗长，但如果您在跟踪时查看图表，这些想法也会变得微不足道。C(n)C(n)C(n)C(5)=71328803586048C(5)=71328803586048C(5) = 71328803586048 （a）在给定的图调用外角A ，B ，C。然后定义以下数量：SnSnS_nA,B,CA,B,CA,B,C 从 A到 C的哈密顿路径的数量。N(n):=N(n):=N(n) := AAACCC 从路径数阿到ç哪个访问每个节点一次，除了乙。N¯(n):=N¯(n):=\bar{N}(n) := AAACCCBBB 我还将调用这样的路径 -或ˉ ñ型在下面的路径。NNNN¯N¯\bar{N} （b）中这是很容易看到，。N(n)=N¯(n)N(n)=N¯(n)N(n)=\bar{N}(n) 原因如下：考虑型路径。在开始甲此路径的形式为（甲，。。。，X 1，乙，X 2，。。。，C ^ ）。通过更换段（X 1，乙，X 2）由（X 1，X 2），我们得到ˉ Ñ型路径。此操作唯一地映射所有NNNNAAA(A,...,X1,B,X2,...,C)(A,...,X1,B,X2,...,C)(A,...,X_1,B,X_2,...,C)(X1,B,X2)(X1,B,X2)(X_1,B,X_2)(X1,X2)(X1,X2)(X_1,X_2)N¯N¯\bar{N}NNN型路径型路径。N¯N¯\bar{N} （c）推导递归。N(n+1)=2N(n)3N(n+1)=2N(n)3N(n+1)=2N(n)^3 考虑一个从型路径甲于乙和表示子三角形在外角甲，乙，Ç由Ť 甲，Ť 乙，Ť Ç，分别。显然，从T A到T B到T C，N型路径将恰好访问每个子三角形。现在考虑子三角形T A和T C的节点ZNNNAAABBBA,B,CA,B,CA,B,CTA,TB,TCTA,TB,TCT_A,T_B,T_CNNNTATAT_ATBTBT_BTCTCT_CZZZTATAT_ATCTCT_C触摸。路径访问此点时，有两种可能性，即（i）离开之前或（ii）进入T C之后。在这些情况下三个子路径内Ť 甲，Ť 乙，Ť Ç如下类型的（ⅰ）Ñ ，Ñ ，ˉ Ñ或（ⅱ）ˉ …

18 graph-theory  combinatorics  check-my-proof 

组合学在计算机科学中起着重要作用。我们经常在分析以及算法设计中使用组合方法。例如，一种用于在图形中查找ķķk顶点覆盖集的方法可能只是检查所有（ nķ）（ñķ）\binom{n}{k}可能的子集。尽管二项式函数呈指数增长，但如果ķķk是某个固定常数，我们将通过渐近分析得出多项式时间算法。 通常，现实生活中的问题需要更复杂的组合机制，我们可以根据复发情况定义这些机制。一个著名的例子是斐波那契数列（天真的）定义为： F（n ）= ⎧⎩⎨1个0F（n − 1 ）+ f（n − 2 ）如果 n = 1如果 n = 0除此以外F（ñ）={1个如果 ñ=1个0如果 ñ=0F（ñ-1个）+F（ñ-2）除此以外f(n) = \begin{cases} 1 & \text{if } n = 1 \\ 0 & \text{if } n = 0 \\ f(n-1) + f(n-2) & \text{otherwise} \end{cases} 现在，使用该递归计算第ññn个项的值呈指数增长，但是由于有了动态编程，我们可以在线性时间内对其进行计算。现在，并不是所有的递归都适合于DP（即阶乘函数），但是当将某些计数定义为递归而不是生成函数时，它是潜在的可利用属性。 生成函数是一种对给定结构进行形式化计数的优雅方法。也许最著名的是定义为的二项式生成函数： （x + y）α= …

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