Sierpiński图上的哈密顿循环数

我是这个论坛的新手，只是一名物理学家，他这样做是为了保持大脑健康，因此，如果我不使用最优雅的语言，请显示优雅。如果您认为其他标签更合适，也请发表评论。

我试图解决这个问题，对此我需要计算哈密顿周期数在Ñ阶的Sierpinski-图表小号Ñ。（还请参见上面的链接以获取谢尔宾斯基图的定义和图片）$C(n)$$n$$S_n$

我找到了，但是我一定搞砸了，因为我的解决方案与给定的值C （5 ）= 71328803586048不匹配。我的论点包括非常基本的思想，我找不到错误。任何帮助是极大的赞赏。即使看起来很冗长，但如果您在跟踪时查看图表，这些想法也会变得微不足道。$C(n)$$C(5) = 71328803586048$

（a）在给定的图调用外角A ，B ，C。然后定义以下数量：$S_n$$A,B,C$

从 A到 C的哈密顿路径的数量。$N(n) :=$$A$$C$

从路径数阿到ç哪个访问每个节点一次，除了乙。$\bar{N}(n) :=$$A$$C$$B$

我还将调用这样的路径 -或ˉ ñ型在下面的路径。$N$$\bar{N}$

（b）中这是很容易看到，。$N(n)=\bar{N}(n)$

原因如下：考虑型路径。在开始甲此路径的形式为（甲，。。。，X 1，乙，X 2，。。。，C ^ ）。通过更换段（X 1，乙，X 2）由（X 1，X 2），我们得到ˉ Ñ型路径。此操作唯一地映射所有$N$$A$$(A,...,X_1,B,X_2,...,C)$$(X_1,B,X_2)$$(X_1,X_2)$$\bar{N}$$N$型路径型路径。$\bar{N}$

（c）推导递归。$N(n+1)=2N(n)^3$

考虑一个从型路径甲于乙和表示子三角形在外角甲，乙，Ç由Ť 甲，Ť 乙，Ť Ç，分别。显然，从T A到T B到T C，N型路径将恰好访问每个子三角形。现在考虑子三角形T A和T C的节点$N$$A$$B$$A,B,C$$T_A,T_B,T_C$$N$$T_A$$T_B$$T_C$$Z$$T_A$$T_C$触摸。路径访问此点时，有两种可能性，即（i）离开之前或（ii）进入T C之后。在这些情况下三个子路径内Ť 甲，Ť 乙，Ť Ç如下类型的（ⅰ）Ñ ，Ñ ，ˉ Ñ或（ⅱ）ˉ Ñ，Ñ ，Ñ，分别。考虑到这一点，我们可以算$T_A$$T_C$$T_A,T_B,T_C$ $N,N,\bar{N}$ $\bar{N},N,N$

，并用（b）中，我们在上递归到达。$N(n+1)=N(n)N(n)\bar{N}(n)+\bar{N}(n)N(n)N(n)$

（d）我们解决了递归（c）中与，将获得Ñ （Ñ ）= 2 3 0 + 3 1 + 。。。+ 3 n - 2。$N(1)=1$$N(n)=2^{3^0+3^1+...+3^{n-2}}$

（e）考虑图的哈密顿循环。由于三个子三角形中的每个仅通过两个节点与其他子三角形相连，因此很明显，该循环将通过一个连接节点准确地进入每个子三角形一次，然后“填充”它，最后通过另一个连接节点离开它。因此，在汉密尔顿的周期小号Ñ包括三个Ñ其中所有具有的结构中的子三角形型子路径小号ñ - 1。我们可以得出哈密顿循环数$S_n$$S_n$$N$$S_{n-1}$

。$C(n) = N(n-1)^3$

但是，$n=5$

$C(5) = N(4)^3 = 8192^3=549755813888 \neq 71328803586048$

后者应根据问题页面获得（上面的链接）。

再次感谢您的帮助或评论。

好主意！问题似乎出在步骤。更换（X 1，乙，X 2）在Ñ由-path （X 1，X 2）给出了一个ˉ Ñ -path，但不是每个ˉ Ñ -path将包含（X 1，X 2）。所以这不是一个双射。这只是说ñ （ñ ）≤ ˉ ñ（ñ ）。$(b)$$(X_1,B,X_2)$$N$$(X_1,X_2)$$\bar{N}$$\bar{N}$$(X_1,X_2)$$N(n) \leq \bar{N}(n)$

Or you can in fact show that $\bar{N}(n) = 3N(n)/2$, resulting in $N(n+1) = 3N^3$.