单亲图可以有多少条边？

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单向图是有向图，因此从任何一个顶点到任何其他顶点最多只有一条简单路径。

单态图可以具有周期。例如，一个双向链接列表（不是循环列表！）是一个单感图。如果列表包含元素，则该图具有个长度为2的循环，总共。 $n$ $n-1$ $2(n-1)$

具有个顶点的单态图的最大边数是多少？渐近边界将是可行的（例如或）。 $n$ $O(n)$ $\Theta(n^2)$

_{受到加权单态图中查找最短路径的启发; 在我的证明中，我最初想声称边的数量为但随后意识到限制循环数就足够了。 $O(n)$}

graphs combinatorics

— 吉尔斯“别再邪恶了”
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好问题。我们应该尝试改善您的下限或我的上限:)。

— RB 2015年

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单向图可以具有边。有一个众所周知的类图那是unipathic并且具有的边缘。 $\Theta(n^2)$ $n^2/4$

考虑一个完整的二部图，与面向边缘。此图是唯一的，没有周期：其所有路径的长度均为。它具有个顶点和边。 $\forall (i,j) \in [1,m]^2, a_i \rightarrow b_j$ $1$ $2m$ $m^2$

_{（后续问题：此比率是否最大？可能不是，但是我没有另一个示例。从在现有节点之间添加的任何一条边都将破坏单亲性的意义上说，此示例是最大的。）}

— 吉尔斯“别再邪恶了”
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“在现有节点之间添加的任何一条边将破坏单性属性”如何将边

相加会破坏属性？

b_{1} \to a_{1}

$b_1 \rightarrow a_1$

— mitchus 2012年

@mitchus

a_{2} \to b_{1} \to a_{1} \to b_{2}

$a_2 \rightarrow b_1 \rightarrow a_1 \rightarrow b_2$

— 吉尔斯'SO-别再作恶了'

1

我想我的心在某种程度上unipathic那一天:)至于极大性，该比例可去1/4的大型

，但

双向链表有超过边缘

。

n

$n$

n \in {2, 3, 4, 5, 6}

$n \in \{2,3,4,5,6\}$

n^{2} / 4

$n^2/4$

— mitchus 2012年

0

我不知道在上是否存在单态图边，但这是一个参数，表明不超过 $\frac{n^2}{4}$ 边是可能的： $\frac{n^2}{2}+3$

矛盾地假设是一个单向图，使得 $G=(V,E)$ 。 $|E|\geq \frac{n^2}{2}+3$

由鸽巢原理，存在，使得 $v\in V$

d_{in} (v) \geq \frac{n}{2} + 1

$d_{\text{in}}(v)\geq \frac{n}{2}+1$

表示 $U=\{u\in V\mid (u,v)\in E\}$

请注意，如果有一个顶点，使得 $x\in V\setminus \{v\}$

\exists u_{1} \neq u_{2} \in U : (x, u_{1}), (x, u_{2}) \in E

$\exists u_1\neq u_2\in U:(x,u_1),(x,u_2)\in E$

那么图就不会是单向的（因为和都是有效路径）。 $(x\to u_1\to v)$ $(x\to u_2\to v)$

这意味着（从加上边）： $\{v\}\times U$

| E \cap (V \times U) | \leq 2 | U |

$|E\cap (V\times U)|\leq2|U|$

因此，在度的平均的顶点至多2，因此： $U$

| E | = | E \cap (V \times U) | + | E \cap (V \times (V ∖ U)) |

$|E|=|E\cap (V\times U)|+|E\cap (V\times (V\setminus U))|$

\leq 2 | U | + n | V ∖ U | \leq 2 (\frac{n}{2} + 1) + n (\frac{n}{2} - 1) < \frac{n^{2}}{2} + 3

$\leq 2|U|+n|V\setminus U|\leq 2(\frac{n}{2}+1)+n(\frac{n}{2}-1)<\frac{n^2}{2}+3$

$\square$

— RB
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