给定长度的常规语言中单词数量的渐近性

对于常规语言，令为长度为中的单词。使用约旦规范形式（应用于的某些DFA的无注释转换矩阵），可以证明对于足够大的， 其中是复数多项式，是复数“特征值”。（对于小，我们可能具有形式的附加项，其中如果且为且Ç Ñ（大号）大号ñ 大号Ñ Ç Ñ（大号）= ķ Σ我= 1个 P 我（Ñ ）λ Ñ 我，P 我λ 我 Ñ Ç ķ [ Ñ = ķ ] [ Ñ = ķ ] 1 ñ = ķ $L$$c_n(L)$$L$$n$$L$$n$

$$c_n(L) = \sum_{i=1}^k P_i(n) \lambda_i^n,$$ $P_i$$\lambda_i$$n$$C_k[n=k]$$[n=k]$$1$$n=k$$0$除此以外。这些对应于特征值为的大小至少为 Jordan块。）$k+1$$0$

这种表示似乎暗示着，如果是无限的，则渐近地，对于某些，。然而，这显然是错误的：对于语言超过的偶数长度，所有单词但。这表明对于某些以及所有，对于足够大的，或。Flajolet＆Sedgewick证明了这一点Ç Ñ（大号）〜Ç ñ ķ λ Ñ Ç ，λ > 0 大号{ 0 ，1 } Ç 2 Ñ（大号）= 2 2 Ñ ç 2 Ñ + 1（大号）= 0 d 一∈ { 0 ，... ，d − 1 } c d m + a$L$$c_n(L) \sim C n^k \lambda^n$$C,\lambda>0$$L$$\{0,1\}$$c_{2n}(L) = 2^{2n}$$c_{2n+1}(L) = 0$$d$$a \in \{0,\ldots,d-1\}$米Ç d 米+ 一〜Ç 一个（d 米+ 一）ķ 一个 λ d 米+ 一个$c_{dm+a}(L) = 0$$m$$c_{dm+a} \sim C_a (dm+a)^{k_a} \lambda_a^{dm+a}$ （定理V.3），他将证明归于Berstel。

Flajolet和Sedgewick提供的证明有些技术性。实际上，由于技术如此之浅，以至于他们只绘制草图。我尝试使用Perron-Frobenius理论进行更基本的证明。我们可以将DFA的过渡图视为有向图。如果有向图是原始的，则结果几乎直接来自Perron-Frobenius定理。如果有向图是不可约的，但对于索引是不可约的，则通过考虑DFA 的“ 第次方”（每个过渡对应于符号），我们得到相同的结果。最困难的情况是有向图是可约的。我们可以简化为强连接组件路径的情况，然后通过估计形式的总和来获得结果 [R [R Σ 米1 + ⋯ + 米ķ = 米ķ Π我= 1个 λ 中号我我$r$$r$$r$

$$\sum_{m_1+\cdots+m_k=m} \prod_{i=1}^k \lambda_i^{m_i}.$$ （每个这样的总和对应于一种接受单词的特定方式，它以某种特定方式经历了不同的组成部分。）然后，可以通过指出最大的项来估计该总和，该最大的项对应于。对于每个重复次的特征值，我们得到的额外因子。 ř Θ （米- [R - 1$m_i \propto \log \lambda_i$$r$$\Theta(m^{r-1})$

证明有其粗糙的边缘：在可约的情况下，我们需要将渐近项到传递到上述总和，然后我们需要估计总和。$C \lambda_i^m$

Flajolet和Sedgewick的证明也许更简单，但基础性较小。它的起点是的有理生成函数，它涉及极数（！）的归纳。基本思想是，由于贝斯特尔（一个中等适度的）定理，最大模量的所有特征值都是单位根（如果通过其模量归一化）。选择合适的并看一下长度的单词，所有这些特征值都变为实数。考虑部分分数展开，我们得到，如果最大模数的特征值“幸存”，则它确定渐近线，形式为d d 米+ 一个ç Ñ ķ λ $c_n(L)$$d$$dm+a$$Cn^k\lambda^n$。否则，我们找到一个新的有理生成函数，该函数仅与该长度的单词相对应（使用Hadamard乘积），然后重复该参数。上述数量一直在减少，因此最终我们找到了所需的渐近线；在此过程中可能必须增长，以反映归纳步骤中发生的所有事情。$d$

是否有的渐近性质的简单且基本的证明？$c_n(L)$

您所勾画的论点似乎与理查德·斯坦利（Richard Stanley）对《枚举组合学》（第1卷）中的转移矩阵法的处理是一致的（链接：pp 573；印刷：pp 500）。

他从生成函数开始，然后通过考虑有向图以及允许和禁止的因素来解包。然后，他将抽象为免费的monoid，并在其中使用您给出的总和的精炼版本来证明：

$B$$A^*$$B$$B^*(\lambda)=(I-B(\lambda))^{-1}$

在研究了一些应用程序之后，他还通过讨论与水平凸多胺有关的Hadamard产品来结束本节。