为什么非可计算函数比可计算函数更多？

我目前正在阅读有关算法和复杂性的书。目前，我正在阅读有关可计算和不可计算的函数的书，并且我的书中指出，不可计算的函数比可计算的函数多，实际上，大多数函数都是不可计算的。从某种意义上说，我可以直观地接受这一点，但是这本书没有给出正式的证明，也没有对此主题进行详尽的阐述。

我只是想看一个证明/让这里的人详细介绍一下/更严格地理解为什么不可计算的功能比可计算的功能多得多的原因。

的是可数很多可计算函数：

每个可计算函数具有至少一个算法。每个算法都有用符号从一有限组有限的描述中，例如有限使用符号二进制字符串。有限二进制串的数量表示由{ 0 ，1 } *是可数的（即相同的自然数的数Ñ）。$\{0,1\}$$\{0,1\}^*$$\mathsf{N}$

因此，最多可以有许多可计算的函数。有至少因为对于每个可数的许多可计算函数$c\in \{0,1\}^*$，恒定函数是可计算。$f(x)=c$

换句话说，它们之间存在对应关系：

• 可计算函数集
• 算法集，
• ，设定从有限串的$\{0,1\}^*$，和$\{0,1\}$
• ，自然数集。$\mathbb{N}$

在另一方面，有不可数超过字符串（或自然数）的许多功能。函数（或˚F ：{ 0 ，1 } * → { 0 ，1 } *）分配给每个输入的值。这些值中的每一个都可以彼此独立地选择。因此，有N N = 2 N个可能函数。自然数上的函数数等于实数。$f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$$f:\{0,1\}^* \to \{0,1\}^*$$\mathbb{N}^\mathbb{N}=2^\mathbb{N}$

由于只有许多功能是可计算的，因此大多数功能不是。实际上，不可计算的函数的数量也是$2^{\mathbb{N}}$。

如果要直观地描述一下，请考虑自然数和实数，或者有限二进制字符串和无限二进制字符串。存在比实数和有限字符串更多的实数和无限二进制字符串。换句话说，（有关这一事实的证明，请参见Cantor的对角线论点和Cardinal算术）。$\mathbb{N} < 2^\mathbb{N}$

这是无数个不可计算的布尔函数的“显式”构造。令为某个固定的不可计算的布尔函数，说停顿问题的特征函数。考虑的函数集 ˚F = { ˚F ：Ñ → { 0 ，1 } ：∀ X ∈ Ñ，˚F （2 X ）= ķ （X ）} 。 每个˚F ∈ ˚F是非可计算的，而$K$

$$F = \{ f \colon \mathbb{N} \to \{0,1\} : \forall x \in \mathbb{N}, f(2x) = K(x) \}.$$ $f \in F$$F$是不可数。

存在具有可计算功能的类似构造。给定一个可计算函数，让 ģ = { 克：Ñ → { 0 ，1 } ：∃ Ñ ∈ Ñ ∀ 米≥ Ñ ，克（米）= - [R （米）。} 换句话说，克∈ ģ如果它不同于ř上有限多个值。G中的所有功能$R$

$$G = \{ g \colon \mathbb{N} \to \{0,1\} : \exists n \in \mathbb{N} \forall m \geq n, g(m) = R(m). \}$$ $g \in G$$R$$G$是可计算的（对有限的差异进行硬编码）。与之前的情况相比，$G$是可数的。

因此，存在许多不可计算的函数，因为我们具有“无限多个”自由度-实际无穷大，而不是像可计算情况那样的“潜在”无穷大。