广义3SUM（k-SUM）问题？

所述3SUM问题试图识别3点的整数$a,b,c$从一组大小的使得。n a + b + c = $S$$n$$a + b + c = 0$

据推测，没有比二次方更好的解决方案，即。或者换句话说：。o（n log （n ）+ n 2$\mathcal{o}(n^2)$$\mathcal{o}(n \log(n) + n^2)$

因此，我想知道这是否适用于广义问题：在大小为的集合为中的找到整数，使得。我∈ [ 1 .. ķ ] 小号Ñ Σ 我∈ [ 1 .. ķ ]一个我 = $a_i$$i \in [1..k]$$S$$n$$\sum_{i \in [1..k]} a_i = 0$

我认为您可以在针对（推广简单的k = 3算法很简单）。 但是对于k的其他值是否有更好的算法？ķ ≥ 2 ķ = 3 $\mathcal{o}(n \log(n) + n^{k-1})$$k \geq 2$$k=3$
$k$

$k$ -SUM可以如下更快地求解。

• 对于偶数：$k$计算k / 2个输入元素的所有和的排序列表检查S是否同时包含数字和。该算法以时间运行。$S$$k/2$$S$$x$$-x$$O(n^{k/2}\log n)$

• 对于奇数$k$：计算（k − 1 ）/ 2个输入元素的所有和的排序列表$S$对于每个输入元件一个，检查是否小号同时含有X和- 一个- X，对于一些数X。（第二步本质上是3SUM 的时间算法。）该算法以时间运行。$(k-1)/2$$a$$S$$x$$-a-x$$x$$O(n^2)$$O(n^{(k+1)/2})$

在线性决策树模型的某个弱但自然的限制条件下，对于任何常数，这两种算法都是最优的（可能为偶数且大于时的对数因子除外）。有关更多详细信息，请参见：$k$$2$$k$

• 尼尔·艾伦（Nir Ailon）和伯纳德·查泽尔（Bernard Chazelle）。 线性简并性测试的下界。 JACM 2005。

• 杰夫·埃里克森。 线性可满足性问题的下界。 CJTCS 1999。

-sum需要时间 Ñ Ω （d ），除非K-SAT可要解决 2 ø （Ñ ）时间为任何常数k。Mihai Patrascu和Ryan Williams（1）的论文对此进行了说明。$d$$n^{\Omega(d)}$$2^{o(n)}$

换句话说，假设指数时间假设为，则您的算法在指数的恒定因子（的多项式因子）之前是最优的$n$

（1）Mihai Patrascu和Ryan Williams。关于更快的SAT算法的可能性。进程 第21届ACM / SIAM离散算法研讨会（SODA2010）

这里有一些简单的观察。

对于，您可以通过扫描阵列零来在Θ （n ）时间内完成。对于k = 2，您无需在Θ （n log n ）时间内散列就可以做到这一点。对阵列进行排序，然后对其进行扫描。对于每一个元素我为做一个二进制搜索- 我。这导致Θ （n log n ）的总复杂度。对于k = n的情况，可以在Θ （n $k=1$$\Theta(n)$$k=2$$\Theta(n \log n)$$i$$-i$$\Theta(n \log n)$$k=n$$\Theta(n)$ 通过累积数组并检查结果来确定时间。

有关更多参考，请参见3SUM的“开放问题项目”页面。

见http://arxiv.org/abs/1407.4640

解决rSUM问题的新算法Valerii Sopin

抽象：

在某些情况下，提出了一种确定的算法来解决任何自然r的rSUM问题，并对时间复杂度进行了二次校正。就所使用的存储器量而言，所获得的算法还具有次二次阶。所获得算法的思想不是基于整数，而是二进制二进制系统中这些数字的k∈N个连续位。可以看出，如果整数之和等于零，则这些数字的任意k个连续位表示的数字之和必须足够“接近”于零。这样就可以丢弃数字，而这些数字并不能建立解决方案。

这是本期的新内容。