“密集”正则表达式生成

这是一个正则表达式的猜想：

对于正则表达式，令长度是其中的符号数，忽略括号和运算符。例如$R$$|R|$$|0 \cup 1| = |(0 \cup 1)^*| = 2$

猜想：如果并且包含长度为每个字符串 或更小，则。$|R| > 1$$L(R)$$|R|$$L(R) = \Sigma^*$

也就是说，如果在的长度范围内“密集” ，则实际上会生成所有东西。$L(R)$$R$$R$

一些可能相关的事情：

1. 仅需要一小部分即可生成所有字符串。例如，对于二进制，将对任何。$R$$R = (0 \cup 1)^* \cup S$$S$
2. 在某个时刻，中必须有一颗Kleene星。如果没有，它将丢失一些小于字符串。。$R$$|R|$

很高兴看到一个证明或反例。在某些情况下，我错过了很明显的错误吗？有人看过（或类似的）东西吗？

Keith Ellul，Bryan Krawetz，Jeffrey Shallit和Ming-ming Wang在其论文“正则表达式：新结果和未解决的问题”中驳斥了您的猜测。虽然无法在线获取本文，但可以进行讨论。

在本文中，他们定义了度量，它是R中的符号数，不计ϵ或∅。然而，∅可以从每个人的表情不产生空的语言被淘汰，并且表达可以“清理”，这样的数量ε它含有最多| a l p h（R ）| （引言第10页上的引理）。$|\mathrm{alph}(R)|$$R$$\epsilon$$\emptyset$$\emptyset$$\epsilon$$|\mathrm{alph}(R)|$

在51页，每他们构建体大小的一个正则表达式Ô （Ñ ）在{ 0 ，1 }其中至多产生大小的所有字符串Ω （2 Ñ Ñ ），但不产生所有字符串。请注意，这里的“大小”在您和他们的意义上都是正确的，因为我们使用的是big-O表示法。他们还提出了一个悬而未决的问题，以找到两个参数之间的最佳依赖关系。$n \geq 3$$O(n)$$\{0,1\}$$\Omega(2^n n)$