数独拼图的有效编码

指定任意9x9网格要求提供每个正方形的位置和值。单纯的编码可能会产生81个（x，y，值）三元组，每个x，y和值需要4位（1-9 = 9个值= 4位），总计81x4x3 = 972位。通过对每个方块编号，可以将位置信息减少到7位，每个方块减少1位，总共减少891位。通过指定一个预定的顺序，可以将这个顺序更彻底地减少到每个值只有4位，总共324位。但是，数独可能缺少数字。这为减少必须指定的数量提供了可能，但可能需要额外的位来指示位置。使用我们的（位置，值）的11位编码，我们可以指定线索的拼图 $n$ $11n$ 位，例如最小（17）拼图需要187位。到目前为止，我想到的最好的编码是对每个空格使用一位，以指示是否已填充，如果是，则接下来的4位对数字进行编码。这需要位，最小拼图需要149位（）。是否有更有效的编码，最好没有每个有效数独设置的数据库？（用于解决一般的奖励积分从拼图） $81+4n$ $n=17$ $n$ $N \times N$

在我看来，许多难题将是另一个难题的旋转，或者是简单的数字排列。也许可以帮助减少所需的位数。

根据维基百科，

经典9×9 Sudoku解决方案网格的数量为6,670,903,752,021,072,936,960（OEIS中的序列A107739），或大约为。 $6.67×10^{21}$

如果我做了我的数学权（），得出查询表的73（72.498）位信息。 $\frac{ln{(6,670,903,752,021,072,936,960)}}{ln{(2)}}$

但：

当考虑到诸如旋转，反射，置换和重新标记之类的对称性时，本质上不同的解决方案的数量仅为5,472,730,538 [15]（OEIS中的序列A109741）。

这给出了33（32.35）位，因此指示使用哪种排列的巧妙方法可能会低于全部73位。

— 凯文
source

哈，我最初发布了一些内容，却没有足够认真地思考问题。我已经删除了。好问题！

— Patrick87 2012年

您能提醒我们多少个Sudoku谜题，所以我们知道这些易于解码的编码和强力枚举之间的差距有多大吗？

— 吉尔斯（Gillles）“所以-别再邪恶了”

您需要能够对所有

网格进行编码，因此需要73位（假设固定长度编码）。没有任何“使用哪个排列的聪明方法”可以帮助您。

6.67 \times 10^{21}

$6.67 \times 10^{21}$

— svick 2012年

@sick从信息论的角度来看，我认为您一定是正确的，但是我无法弄清楚多余的数据来自何处。有

排列是19位，加上3表示镜像和旋转，因此22加上33表示独特的拼图，得出55；其他18个来自哪里？

9!

$9!$

— 凯文

请参阅存储数独拼图所需的最小位数是多少？

— 卡夫

是否有更有效的编码，最好没有每个有效数独设置的数据库？

是。我可以想到一种编码，根据条件的不同，可以改进您的149位编码，以6或9位最小拼图。这没有数据库或任何其他解决方案或部分板的注册。它去了： $9\times 9$

首先，您使用位对数字进行编码，使面板中的出现次数最少。接下来的位编码的实际数量次出现。接下来的比特编码每个中的位置的出现。 $4$ $m$ $4$ $\ell$ $m$ $7\ell$ $m$

以下位是标志，指示其余位置是否有数字（您只需跳过所在的位置）。每当这些位之一为时，接下来的3位将指示其为哪个数字（在无的有序集合）。例如，如果和3位，然后在所述板上的相应位置的数量是在该组中的第5次（从0计数） $81-\ell$ $m$ 1 $\{1,\ldots,9\}$ $m$ $m=4$ 101，因此它是。数字将被二进制编码为，而数字将被编码为。由于我们已经写入了位置，因此在此步骤中，将仅添加位来编码电路板的其余部分。 $\{1,2,3,5,6,7,8,9\}$ $6$ $j<m$ $j-1$ $j>m$ $j-2$ $\ell$ $3(n-\ell)$

B = 4 + 4 + 7 ℓ + (81 - ℓ) + 3 (n - ℓ) = 89 + 3 ℓ + 3 n .

$B=4+4+7\ell+(81-\ell)+3(n-\ell)=89+3\ell+3n.$

$n=17$ $\ell$ $\ell\leq\lfloor n/9\rfloor$ $B$

$n\in\{17,18,19\}$ $n=20$ $\ell=0$ $N=9$ $2^{\lfloor\log_2N\rfloor}$ $N=16$

Example. Consider the following board with $n=17$ clues.

.  .  .   .  .  .   .  1  .
4  .  .   .  .  .   .  .  .
.  2  .   .  .  .   .  .  .

.  .  .   .  5  .   4  .  7
.  .  8   .  .  .   3  .  .
.  .  1   .  9  .   .  .  .

3  .  .   4  .  .   2  .  .
.  5  .   1  .  .   .  .  .
.  .  .   8  .  6   .  .  .

Here, no number does not appear on the board, and numbers 6, 7 and 9 appear only once. We take $m=7$ (0111) and $\ell=1$ (0001). Reading the positions from left to right and then from top to bottom, $m$ appears in the position $36$ (0100100). Thus, our encoding begins with 011100010100100.

Next, we need seven 0s, one 1 and the 3-bit encoding of the number $1$ , then a 0 followed by a 1 and the 3-bit encoding of $4$ , etc. (0000000100101100). Eventually, we will skip the position where $m=7$ is, and we will encode 8 as 110 (the 6th number counting from 0 on the list ${1,2,3,4,5,6,8,9}$ ) and 9 as 111. The full encoding goes as follows:

// m=7, l=1 and its position on the board.
011100010100100
// Numbers 1 and 4 at the beginning. Note that 1 is encoded 000, and 4 is 011.
0000000100001011
// Numbers 2 and 5.
0000000001001000000000001100
// Numbers 4 and 8. We skip the appearance of 7 and encode 8 as 110.
010110001110
// 3, 1 and 9. 9 is encoded as 111.
00010100000100001111
// 3, 4, 2, 5, 1, 8, 6 and the last empty cells.
0000101000101100100100011000100000000000111001101000

The complete encoding is 01110001010010000000001001010110000000001001000000000001100010110001110000101000001000011110000101000101100100100011000100000000000111001101000, and the reader can check the length of that string is indeed 143 :-)

— Janoma
source