函数是否总是渐近可比的？

当我们比较两种算法的复杂度时，通常是$f(n) = O(g(n))$或$g(n) = O(f(n))$（可能两者）的情况，其中$f$和$g$是两种算法的运行时间（例如）。

总是这样吗？也就是说，是否始终保持关系$f(n) = O(g(n))$和中的至少一个$g(n) = O(f(n))$，即对于通用函数$f$，$g$？如果不是，我们必须做出哪些假设？（为什么）我们谈论算法的运行时间？

并非每对函数都可与表示法相提并论；考虑功能˚F （Ñ ）= Ñ和 克（Ñ ）= { 1 ，如果  Ñ  是奇数，Ñ 2 如果  Ñ  是偶数。 而且，像g （n ）这样的函数实际上是随着算法的运行时间而出现的。考虑一下显而易见的蛮力算法，以确定给定的整数n是否为质数：$O(\cdot)$$f(n) = n$

IsPrime(n):
  for i ← 2 to (n-1)
     if i·⌊n/i⌋ = n
        return False
  return True

当n为偶数O （√时，此算法需要算术运算$\Theta(1)$$n$操作时，ñ是复合材料，但Θ（ñ）操作时，ñ是素数。因此，从形式上讲，该算法与使用 √的算法无可比拟$O(\sqrt{n})$$n$$\Theta(n)$$n$每n个n个算术运算。$\sqrt{n}$ $n$

在大多数时候，当我们分析算法时，对于某些相对简单的函数f，我们只想要形式的渐近上限。例如，大多数教科书会简单（正确地）报告以O （n ）算术运算运行。典型的上限函数是指数，多项式和对数的乘积（尽管偶尔还会出现阶乘和迭代对数之类的奇异野兽）。不难证明任何两个这样的功能都是可比较的。$O(f(n))$$f$IsPrime(n)$O(n)$

另请参见此MathOverflow问题。

从维基百科，大O符号的定义：

当且仅当存在一个正常数M使得对于所有足够大的值，f （x ）的 绝对值最大为M乘以g （x ）。即，˚F （X ）∈ Ô （克（X ））当且仅当存在一个正实数中号和实数X 0，使得$x$$f(x)$$g(x)$$f(x) \in O(g(x))$$M$$x_0$

$|f(x)|<= M |g(x)| \quad \text{for all} \; x > x_0$

对于不收敛的函数（常数或无穷大）会发生什么？

看一下函数，且g （x ）= $f(x) = |xsin(x)|$$g(x) = 10$

对于每个，有一些X > X 0，使得X = ķ π，从而˚F （X ）= 0 -因此每个中号 - 中号˚F （X ）> 克（X ）将产生假，和克（X $x_0$$x > x0$$x = k\pi$$f(x) = 0$$M$$Mf(x) > g(x)$$g(x) \; \not\in O(f(x))$

但是，很容易看到通过任何常数为每个是无界为好，因此中号，X 0，有一些X > X 0，使得˚F （X ）< 中号克（X ）也将产生假，和˚F （X ）∉ Ô （克（x ）$|xsin(x)|$$M$$x_0$$x > x_0$$f(x) < Mg(x)$$f(x) \not\in O(g(x))$

注意：对于定义而言，如果大O允许和g （x ）之间存在最大常数差，则将g （x ）= log （x ）应用于相同的想法$Mf(x)$$g(x)$$g(x) = \log(x)$

这是一对渐近不可比的单调函数。这是相关的，因为实际上产生的大多数复杂性实际上都是单调的。

克（X ）= Γ （⌊ X - 1 / 2 ⌋ + 3 / 2

$\Gamma$

$\mathcal{L}$$\exp(2\sqrt{\log x + \log\log x})/x^2$$f,g \in \mathcal{L}$$f = o(g)$$f = \omega(g)$$f/g$

结果是在算法分析中出现的任何两个“简单”功能都是可比的。这里的“简单”是指没有按大小写定义（除了有限的基本情况以外），并且没有出现令人惊讶的函数，例如Ackermann逆函数有时会在运行时间计算出来。